湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第4章 立体几何初步 4.5.2 几种简单几何体的体积.ppt

第4章立体几何初步4.5几种简单几何体的表面积和体积4.5.2几种简单几何体的体积

课程标准1.通过对柱体、锥体、台体的研究,掌握柱体、锥体、台体的体积的求法.2.理解柱体、锥体、台体的体积计算公式之间的关系;会求组合体的体积.3.在掌握球的体积计算公式的基础上,能够求解与球有关的组合体体积计算问题.

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基础落实?必备知识全过关

知识点1棱柱、棱锥、棱台的体积几何体体积公式棱柱V棱柱=Sh(S为棱柱的底面积,h为棱柱的高)棱锥V棱锥=Sh(S为棱锥的底面积,h为棱锥的高)棱台V棱台=_________________(S,S分别为棱台的上底、下底面积,h为棱台的高)?

过关自诊1.等底等高的棱柱和棱锥,它们的体积之间有什么关系?2.棱台与棱锥有什么关系?如何求一个棱台的体积?提示等底等高的棱锥体积是棱柱体积的.提示棱台是用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的,它的体积可用原棱锥体积减去截得的上部小棱锥的体积求解.

知识点2圆柱、圆锥的体积1.V圆柱=πr2h(r是圆柱的底面半径,h是圆柱的高)2.V圆锥=πr2h(r是圆锥的底面半径,h是圆锥的高)名师点睛棱柱和圆柱都是柱体,棱锥和圆锥都是锥体,它们的体积公式可统一如下:(1)V柱体=Sh(S为柱体的底面积,h为柱体的高);(2)V锥体=Sh(S为锥体的底面积,h为锥体的高).

过关自诊下图是由圆柱与圆锥构成的组合体,下部是圆柱,其轴截面是边长为4的正方形,上部为圆锥,其高为3,则该几何体的体积为__________.?20π解析圆柱的底面半径是2,高为4,圆锥的底面半径是2,高为3,则V=π×22×4+×π×22×3=20π.

知识点3球的体积若球的半径为R,则球的体积为V=πR3.过关自诊[北师大版教材习题]球表面积膨胀为原来的2倍,体积变为原来的几倍?

重难探究?能力素养全提升

探究点一柱体的体积【例1】用一块长4m,宽2m的矩形铁皮卷成一个圆柱形铁筒,如何制作可使铁筒的体积最大?

规律方法柱体的体积公式V=Sh(S为底面面积,h为高),特别地,圆柱的体积公式也可以表示为V=πr2h(r为底面半径,h为高).因此求柱体体积的关键是求出底面积与高.

变式训练1如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A=2,AB=1,那么该正四棱柱的体积为()A.1 B.2C.4 D.8B解析正四棱柱的体积为V=S正方形ABCD×AA1=12×2=2.

探究点二锥体的体积【例2】(1)如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC的中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为()C

A

规律方法1.锥体的体积公式V=Sh(S为底面面积,h为高),特别地,圆锥的体积公式也可以表示为V=πr2h(r为底面半径,h为高).因此求锥体体积的关键是求出底面面积与高.2.求解三棱锥的体积时,由于三棱锥的每一个面均可以看作是底面,因此要注意根据几何体的特征变换顶点.

变式训练2(1)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是棱A1B1上任意一点,四棱锥S-ABCD的体积与正方体ABCD-A1B1C1D1的体积之比为()A.1∶2 B.1∶3C.1∶4 D.不确定B

解析设正方体的棱长为a,则正方体的体积V=a3.易知四棱锥S-ABCD的高为点S到底面的距离,即a,所以四棱锥S-ABCD体积为所以V∶V=1∶3,故四棱锥S-ABCD的体积与正方体ABCD-A1B1C1D1的体积之比为1∶3.故选B.

D

探究点三棱台的体积【例3】已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高和体积.

规律方法1.棱台的体积公式(S,S分别为上、下底面面积,h为高),因此求棱台体积的关键是求出上、下底面面积和高.2.涉及与正棱台有关的几何计算,应根据正棱台底面正多边形的特征构造与下底面正多边形边上的高、正棱台的高有关的直角三角形再求解.

变式训练3[北师大版教材习题]有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190L.已知它的两底面边长分别等于60cm和40cm,求它的深度.

探究点四球的体积【例4】各棱长均为的四面体内有一内切球,求该球的体积.

变式探究求本例所给四面体外接球的体积.

规律方法与球有关的组合体一般有两类,一类是与球内接的组合体,在此类组合体中,球心与多面体顶点的连线是