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无穷减无穷的极限四种解法

无穷减无穷的极限是微积分中的一个重要概念。在解决一些极限

问题时，经常会遇到无穷减无穷的情况。对于这种情况，大家可能会

有不同的解法。本文将介绍四种常见的解法，并通过具体例子来说明。

一、直接法

直接法是最常见的解法，也是最简单的一种解法。直接法的核心

思想是将无穷减无穷的式子化简，使其变成一个可以计算的形式。具

体步骤如下：

1.先将分子分母都乘以一个公因式，使得分子分母中的最高次

项系数相同。

例如，对于式子lim(x→∞)(x^2-5x+3)/(x^2-x-2)，可以将分

子分母都乘以x的倒数，得到lim(x→

∞)(1-5/x+3/x^2)/(1-1/x-2/x^2)。

2.利用分式的通分原理，将分母化简。

例如，对于上面的式子，可以将分母化简为(1-2/x)(1+x/2)，得

到lim(x→∞)(1-5/x+3/x^2)/[(1-2/x)(1+x/2)]。

3.利用极限的性质，将分子和分母分别求极限。

例如，对于上面的式子，可以将分子和分母分别求极限，得到

lim(x→∞)(1-0+0)/(1-0.5+0)=2。

因此，原式的极限为2。

二、同阶无穷小量法

同阶无穷小量法是一种比较常见的解法，其核心思想是利用同阶

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无穷小量的性质来解决问题。具体步骤如下：

1.将无穷减无穷的式子化简成两个同阶无穷小量相减。

例如，对于式子lim(x→∞)(x^2-5x+3)/(x^2-x-2)，可以将分

子分母都除以x^2，得到lim(x→∞)(1-5/x+3/x^2)/(1-1/x-2/x^2)。

2.利用同阶无穷小量的性质，将分子和分母中的同阶无穷小量

相减。

例如，对于上面的式子，可以将分子和分母中的同阶无穷小量相

减，得到lim(x→∞)(1-0+0)/(1-0-0)=1。

因此，原式的极限为1。

三、洛必达法则

洛必达法则是一种比较常用的解法，其核心思想是利用导数的性

质来解决问题。具体步骤如下：

1.将无穷减无穷的式子化简，得到一个分式。

例如，对于式子lim(x→∞)(x^2-5x+3)/(x^2-x-2)，可以将分

子分母都除以x^2，得到lim(x→∞)(1-5/x+3/x^2)/(1-1/x-2/x^2)。

2.分别对分子和分母求导数。

例如，对于上面的式子，可以分别对分子和分母求导数，得到

lim(x→∞)(0-(-5/x^2)+6/x^3)/(0-(-1/x^2)-(-4/x^3))。

3.利用极限的性质，将导数的极限作为原式的极限。

例如，对于上面的式子，可以将导数的极限作为原式的极限，得

到lim(x→∞)(0+0+0)/(0+0+0)=0。

因此，原式的极限为0。

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四、泰勒展开法

泰勒展开法是一种比较高级的解法，其核心思想是利用泰勒展开

式来近似原式。具体步骤如下：

1.将无穷减无穷的式子化简，得到一个分式。

例如，对于式子lim(x→∞)(x^2-5x+3)/(x^2-x-2)，可以将分

子分母都除以x^2，得到lim(x→∞)(1-5/x+3/x^2)/(1-1/x-2/x^2)。

2.对分子和分母分别进行泰勒展开。

例如，对于上面的式子，可以对分子和分母分别进行泰勒展开，

得到lim(x→∞)(1-5/x+3/x^2)/(1-1/x-2/x^2)=lim(x