高教社2024高等数学第五版教学课件-7.2 多元函数微分学.pptx

第七章多元函数微积分第二节多元函数微分学

一、多元函数的概念在一元函数微积分中,讨论的是只有一个自变量和一个因变量的函数,而在自然现象和实际问题中所涉及的函数,并非都是一元函数,而往往依赖于两个或者更多个自变量,先看几个例子.

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上面两例的具体意义各不相同,但仅从数量关系来研究,它们却有共同的性质,据此可抽象出多元函数的概念.

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?ax2+y2=a2yx?

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对一般的二元函数可以证明：?

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（3）列表判定极值点ABC结论-82-2-42-2+?

2.二元函数的最大值与最小值与一元函数类似,对于有界闭区域上连续的二元函数,一定能在该区域上取得最大值和最小值.对于二元可微函数,如果该函数的最大值（最小值）在区域内部取得,这个最大值（最小值）点必在函数的驻点之中,若函数的最大值（最小值）在区域的边界上取得,那么它也一定是函数在边界上的最大值（最小值）.因此求函数的最大值和最小值的方法是：将函数在所讨论区域内的所有驻点处的函数值与函数在区域的边界上的最大值和最小值想比较,其中最大者即为函数在闭区域上的最大值,最小值就是函数在闭区域上的最小值.

x+y=4(0≤x≤4)yx4O?4??

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对于实际问题的最值问题,往往从问题本身能判定它们的最大值或最小值一定存在,且在定义区域内部取得,这时,如果函数在定义域内有唯一驻点,则该驻点的函数值就是函数的最大值或最小值.

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