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基础课49直线与圆锥曲线的位置关系

课时评价·提能

基础巩固练

1.若直线mx+ny=4与圆x2+y2=4

A.0或1 B.2 C.1 D.0

[解析]由题意得-4m2+n22，则m2+n24，所以点Pm,n

2.已知抛物线C：y2=8x的准线为l，l与x轴交于点P，直线x=1与抛物线C交于A，B两点，则

A.42 B.62 C.8

[解析]由题意知准线l的方程为x=-2，点P-2

x=1，得y=±2

所以S△PAB=1

3.若过点M2,4作直线l与抛物线y2=8x

A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条

[解析]由题意，得点M2,4恰好在抛物线y

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，此时直线与抛物线有两个交点，

当直线l与x轴平行时，此时直线l与抛物线只有一个公共点，满足题意.

因为点M在抛物线上，过点M有且仅有1条切线，所以满足与抛物线只有一个公共点.

故与抛物线只有一个公共点的直线只有2条.故选B.

4.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a0,b0与斜率为

A.2 B.103 C.52

[解析]设Ax1,y1,Bx

所以x2

又线段AB的中点为4,

所以x1+x2=8,y1

所以4b2a2=1，即b2

故选C.

5.已知F是抛物线C：y2=2pxp0的焦点，M是抛物线C上一点，MF的延长线交y轴于点N.若MF:NF

A.y2=x B.y2

[解析]由抛物线C：y2=2pxp0，

作MA垂直y轴于点A（图略），因为MF:NF=2:1，NF=2，所以F为线段MN的三等分点，且MF=2NF=4，由△NFO～△NMA，得OF

6.已知椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为1的直线l交椭圆

A.247 B.127 C.12

[解析]设直线AB的方程为y=x-1，代入椭圆C

整理可得7x2-8x-8

则x1+x2=87，x

7.已知抛物线C：y2=2pxp0的焦点为F，若直线x=4与C交于A，B

A.3 B.4 C.5 D.6

[解析]将x=4代入抛物线C的方程y2=2pxp0，解得

由抛物线的定义可得AF=p2+

8.（改编）已知四边形ABCD为椭圆E：x2a2+y2b2=1ab0的内接矩形，其中点A,B关于x轴对称，点P满足AB=

A.12 B.33 C.2

[解析]如图所示，设Am,n，因为四边形ABCD为矩形，点A,B关于x轴对称，所以Bm,-n

由AB=4AP，可得P

设Qx0,y0，因为点A,Q在椭圆上，所以m2a2+

因为kCQ=kCP

因为AC?AQ=0，所以AC

因为kAC=2n2m=nm，所以-4mb23na2

综合提升练

9.（多选题）已知点M-2,0，N2,0，若某直线上存在点P，使得PM-

A.x+y=0 B.x

[解析]因为M-2,0，N2,0，PM-PN=2MN，所以点P在以M，N为焦点的双曲线的右支上，

所以双曲线的标准方程为x2-y2

对于A，x+y=0为双曲线的一条渐近线，故与双曲线没有交点，故x+

对于B，联立x-y-3=0,x2-y2=1,消去y得x

对于C，联立2x+y+3=0,x2-y

故直线2x+y+3=0与双曲线x2-y2=1

对于D，联立2x+y-3=0,x2-y

故直线2x+y-3=0与双曲线x2-y2=1的右支有两个交点

10.（多选题）已知抛物线C：y2=2pxp0的焦点F到准线l

A.焦点F的坐标为1

B.过点A-1,0恰有

C.直线x+y-1

D.抛物线C与圆x2+y2=5

[解析]由题意知抛物线C的方程为y2

对于A，焦点F的坐标为1,0，故A

对于B，过点A-1,0有2条直线与抛物线相切，还有直线y=0，共3条直线与抛物线有且只有一个交点

对于C，由x+y-1

弦长为2y1-y2=

对于D，由x2+y2=5,y2=4x,得x2+4x-5=0，解得x=1

11.若双曲线x2-y23=1上存在两个点关于直线l：y

[解析]依题意，设双曲线上两点Ax1,

若点A,B关于直线l：y=

则设直线AB的方程为x=-ky+n，代入双曲线的方程x

则Δ=36k2n2-43k2

又y1+y2=6kn3

所以y0=y

因为线段AB的中点D在直线l：y=

所以3kn3k2-1=k

所以nk≠0，即k≠0,n

所以3k2-1

又k0,所以0k

故实数k的取值范围为(0,12)∪(

12.已知M是椭圆C：x24+y23=1上异于顶点的动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，E为

[解析]如图，由椭圆C的方程可得a=2，b=3

故F1F2

又MP平分∠F1MF2，所以点P到MF1，MF

设MF2=t，则

由OE是△