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2.1有理数
1.借助生活中的实例理解负数、有理数的意义,体会负数引入的必要性和有理数应用的广泛性.
2.会判断一个数是正数还是负数,能应用正、负数表示生活中具有相反意义的量,体会数学知识与现实世界的联系.
3.在负数概念的形成过程中,培养观察、归纳与概括的能力.
一、情境导入
学校组织足球比赛,猛虎队和蛟龙队展开了一场激烈的对决,豆豆所在的猛虎队踢进4个球,失3个球,你能用数学的方式帮助豆豆表示他们队的进失球情况吗?学了有理数的有关知识后,问题不难解决.
二、合作探究
探究点一:用正、负数表示具有相反意义的量
【类型一】会用正、负数表示具有相反意义的量
如果某河的水位升高0.8m时水位变化记作+0.8m,那么水位下降0.5m时水位变化记作()
A.0m B.0.5m
C.-0.8m D.-0.5m
解析:由水位升高0.8m时水位变化记作+0.8m,根据相反意义的量的含义,则水位下降0.5m时水位变化就记作-0.5m,故选D.
方法总结:用正、负数表示相反意义的量时,要抓住基准,比基准量多多少记为“+”的多少,少多少记为“-”的多少.另外通常把“零上、上升、前进、收入、运进、增产”等规定为正,与它们意义相反的量表示为负.
【类型二】用正、负数表示误差的范围
某饮料公司的一种瓶装饮料外包装上有“500±30(mL)”字样,请问“500±30(mL)”是什么含义?质检部门对该产品抽查5瓶,容量分别为503mL,511mL,489mL,473mL,527mL,问抽查的产品是否合格?
解析:+30mL表示比标准容量多30mL,-30mL表示比标准容量少30mL.则合格范围是指容量在470~530(mL)之间.
解:“500±30(mL)”表示470~530(mL)是合格范围,503mL,511mL,489mL,473mL,527mL都在合格范围内,故抽查的产品都是合格的.
方法总结:解决此类问题的关键是理解“500±30(mL)”的含义,即500是标准,“+”表示比标准多,“-”表示比标准少.
探究点二:有理数的分类
【类型一】有理数的分类
把下列各数填到相应的大括号里.
-1,6,-3.14,0,-eq\f(2,3),8%,2016.
正有理数集:{…};
负有理数集:{…};
非负数集:{…};
整数集:{…};
分数集:{…}.
解析:根据正、负数的意义可知6,8%,2016都是正有理数;-1,-3.14,-eq\f(2,3)是负有理数;非负数即0和正数,所以6,0,8%,2016是非负数;整数包括正整数、0和负整数,故-1,6,0,2016是整数;分数有-3.14,-eq\f(2,3),8%.
解:正有理数集:{6,8%,2016…};
负有理数集:{-1,-3.14,-eq\f(2,3)…};
非负数集:{6,0,8%,2016…};
整数集:{-1,6,0,2016…};
分数集:{-3.14,-eq\f(2,3),8%…}.
方法总结:以前学过的0以外的数就是正数,正数前面加上“-”号就是负数,再看它们是整数还是分数.
【类型二】对“0”的理解
下列对“0”的说法正确的个数是()
①0是正数和负数的分界点;②0只表示“什么也没有”;③0可以表示特定的意义,如0℃;④0是正数;⑤0是自然数.
A.3个B.4个C.5个D.0个
解析:0除了表示“无”的意义,还可以表示其他的意义,所以②不正确;0既不是正数也不是负数,所以④不正确;其他的都正确.故选A.
方法总结:“0”的意义不要单纯地认为表示“没有”,其实“0”表示的意义非常广泛,比如:冰水混合物的温度就是0℃,0是正、负数的分界点等.
【类型三】和正、负有关的规律探究问题
观察下面依次排列的一列数,请接着写出后面的3个数,你能说出第10个数、第105个数、第2015个数吗?
(1)一列数:1,-2,3,-4,5,-6,______,______,______,…;
(2)一列数:-1,eq\f(1,2),-3,eq\f(1,4),-5,eq\f(1,6),____,____,____,….
解析:(1)对第n个数,当n为奇数时,此数为n,当n为偶数时,此数为-n;(2)对第n个数,当n为奇数时,此数为-n;当n为偶数时,此数为eq\f(1,n).
解:(1)7,-8,9;第10个数为-10,第105个数是105,第2015个数是2015;
(2)-7,eq\f(1,8),-9;第10个数为eq\f(1,10),第105个数是-105,第2015个数是-2015.
方法总结:像这样探索规律的问题,应全面分析所给的数据,特别要注意观察符号的变化规律,发现数列的特征.
三
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