几个著名的几何定理课件.pptVIP

第二章几何证明§2.3几个著名的几何定理在几何学的发展历史中，许多经久不衰的平面几何名题推动着几何学的发展，乃至整个数学的发展，它们在解决相关问题时有着很大的作用，尤其在思想方法上作用.

1.梅涅劳斯(Menelaus)定理直线l分别交⊿ABC的三边BC、CA、AB(或其延长线)于X、Y、Z,如图.求证：AlZY[证法1]注意到3个比例X式对应的线段.为此过点B作l的平行线交AC的延长线于D.BC于是，利用平行线产生的比例线段进行替换即可得证.注意：也可过点C作直线l的平行线.D

[证法2](利用面积法证，留作课后研究)A说明：(1)结论中的线段若换成有向线段则等式右边为－1；lZYX(2)该定理的逆定理也成立，称为梅涅劳斯逆BC定理.其证明留作课后研究；(3)该定理及其逆定理合称为“梅氏准则”：在⊿ABC中，设X,Y,Z分别位于BC,CA,AB或其延长线上，则X,Y,Z共线的充要条件是

(4)利用梅氏准则解决有些问题时思路可变得相当简捷，其逆定理常用于证明三点共线；(5)梅涅劳斯定理还可以推广到平面凸四边形、四面体乃至n维欧式空间中；(6)梅氏准则还有对应的角元形式.

例1设四边形ABCD两双对边相交于E、F，则AC、BD、EF的中点X、Y、Z共线.（牛顿线）ZB[证明]利用梅氏准则.没有直接符合梅氏准则的相关条件,故需构造相关图形.注意到题目中的中点较多,因此如图取中点.EFL●MNXC●A●YD

例2设两个三角形ABC和彼此对应,使得对应点的连线共点,那么对应边的交点共线.(代沙格Desargues定理)[证明]应用梅氏准则.OCABNLM

例3如图,⊙和⊿ABC的三边所在的3条直线都相切,E,F,G,H为切点,直线EG与FH交于点P.求证：PA⊥BC.·P[证明]过A作AD⊥BC于D,延长DA交HF于·GH对⊿ABD及截线FP应用梅氏定理,有··A······DCEBF由BF=BH,有又,A,,三点共线,连则由有⊿AG∽⊿AH,即

·P·G故H··A··又CE=CG,则····DCEBF对⊿CAD应用梅氏逆定理,知,G,E三点共线,即为直线EG与FH的交点.即点与点P重合.亦即PA⊥BC.

例4在直角梯形ABCD中,以垂直的一腰AB为直径之半圆切另一腰于E,自E作EF⊥AB于F,连结ACS交EF于M.求证AC平分EF.[证明]利用梅氏准则.延长两腰,设它们相交于S,则在⊿SEF,因A,C,M共线,ADEF则有M同时注意到DE=AD,EC=BD,及AD∥BCBC可得

2.两条著名的线(1)欧拉(Euler)线在任一三角形中，外心、垂心和重心共线.[证法1]连接O,H容易证明OHA与AD的交点就是重心G.(后略)2[证法2]运用梅氏准则，连接OC分别交AD、AH于.GHO●●●1CB由可得D再分别计算所需的各项比.(略)

(2)西摩松(Simson)线三角形外接圆上任一点向三边作垂线，则三垂点共线.(其逆亦真)A[证法1]利用邻补角(如图).ZXCB[证法2]利用梅氏准则YP

例5设⊿ABC的高线AD,BE,CF,其中D,E,F为垂足,从点D作AB,BE,CF,AC的垂线,垂足分别为P,Q,R,S.则P,Q,R,S共线.A[证明]注意到题目中有较多共圆关系,考察是否可以利用西摩松定理.FP·HE··QR·SC·BD

例6如图,延长凸四边形ABCD的对边AB与DC,AD与BC分别相交于E,F.求证：⊿BCE,⊿CDF,⊿ADE,⊿ABF的四个外接圆共点.A[证明]设⊿BCE与⊿CDF的B两个外接圆交于C,M点.设点M在直线BE,EC,BC上的射影分别为P,Q,R,则由PDCQ·RESF西摩松定理,知P,Q,R三点共线.M同理,M点在直线DC,CF,DF的射影Q,R,S三点也共线,故P,Q,R,S四点共线.在⊿ADE中,P在直线AE上,Q在直线DE上,S在直线AD上,且P,Q,S共线,则由西摩松定理的逆定理知M在⊿ADE的外接圆上.同理M也在⊿ABF的外接圆上.

3.塞瓦(Cera)定理(准则)在⊿ABC中,设X,Y,Z依次在三边BC,CA,AB或其延长线上，则AX,BY,CZ共点或平行的充要条件是AZYYAZPBCBCXX

AZYYAZXPBCBCX[证法1]必要性：(1)平行情况易证；(2)共点情况可以用梅涅劳斯定理证明.充分性：类似梅涅劳斯定理充分性的证明.[证法2]可利用面积法证.

例7三角形的三条角平分线共点.[证明]