湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第1章 1.5.2 数量积的坐标表示及其计算.ppt

1.5.2数量积的坐标表示及其计算第1章

课标要求1.能用坐标表示平面向量数量积,会表示两个向量的模、夹角.2.能用坐标表示平面向量垂直的条件

内容索引0102基础落实?必备知识全过关重难探究?能力素养全提升03学以致用?随堂检测全达标

基础落实?必备知识全过关

知识点1数量积的坐标表示两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积的坐标表达式为a·b=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2.过关自诊若向量a=(4,-2),b=(-1,-6),则a·b=.?答案8解析a·b=4×(-1)+(-2)×(-6)=8.

知识点2计算公式1.向量的长度(1)a·a=|a|2.2.夹角余弦值根据两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)数量积的定义,得到计算两向量夹角余弦值的公式为cosa,b=.3.垂直条件已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.

名师点睛已知a=(a1,a2),b=(b1,b2),a∥b?a1b2-a2b1=0;a⊥b?a1b1+a2b2=0.这两个结论容易混淆,可分别简记为“纵横交错积的差为零,横横纵纵积的和为零”.

过关自诊1.设a=(-2,3),则|a|=.?2.若a=(4,-3),b=(-8,-6),则a,b夹角的余弦值等于.?

3.若向量a=(3,x),b=(2,-6),且a⊥b,则x=.?答案1解析因为a⊥b,所以a·b=0,即3×2+(-6)x=0,解得x=1.

重难探究?能力素养全提升

探究点一数量积的坐标运算角度1数量积的基础坐标运算【例1】已知向量a=(-1,2),b=(3,2).(1)求a·(a-b);(2)求(a+b)·(2a-b);(3)若c=(2,1),求(a·b)c,a(b·c).解(1)(方法1)∵a=(-1,2),b=(3,2),∴a-b=(-4,0).∴a·(a-b)=(-1,2)·(-4,0)=(-1)×(-4)+2×0=4.(方法2)a·(a-b)=a2-a·b=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.

(2)∵a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4),2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2),∴(a+b)·(2a-b)=(2,4)·(-5,2)=2×(-5)+4×2=-2.(3)(a·b)c=[(-1,2)·(3,2)](2,1)=(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1).a(b·c)=(-1,2)[(3,2)·(2,1)]=(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).

角度2数量积的坐标运算在几何图形中的应用【例2】在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,点M,N分别在DC,BC上,且答案5

(方法2)以A为原点,AB,AD分别为x,y轴建立平面直角坐标系(图略),则A(0,0),M(1,2),N(3,1),

规律方法数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先将向量用基表示,再利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,建立平面直角坐标系,写出相应点的坐标即可求解.

变式训练1(1)已知点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则等于()A.-1 B.0 C.1 D.2(2)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,D是边BC上一动点,则=()A.2 B.-2C.4 D.无法确定答案(1)B(2)C

探究点二利用坐标运算解决模的问题【例3】已知向量a=(1,2),b=(3,-1).(1)求|a-2b|;(2)求与a垂直的单位向量;(3)求与b平行的单位向量.解(1)(方法1)因为a=(1,2),b=(3,-1),所以a-2b=(-5,4),

规律方法1.求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算:利用|a|2=a·a,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.

变式训练2若向量a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),则|a+b|的最小值为()答案C解析因为a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),所以a+b=(2x-1,3-x)+(1-x,2x-1)=(x,x+2),

探究点三利用坐标运算解决夹角与垂直问题【例4】已知平面向量a=(3,4),b=(9,