湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第1章 1.6.2 正弦定理.ppt

1.6.2正弦定理第1章

课标要求1.掌握正弦定理及其变形.2.借助向量的运算,探索正弦定理的证明过程.3.能用正弦定理解决简单的实际问题.

内容索引0102基础落实?必备知识全过关重难探究?能力素养全提升03学以致用?随堂检测全达标

基础落实?必备知识全过关

知识点1正弦定理1.

名师点睛正弦定理解三角形的常见类型(1)已知三角形的两边及一边所对的角,求剩余的边和角.(2)已知两角和任一边,求另外两边和一角.

过关自诊答案4

答案45°所以sinC=cosC,所以C=45°.

知识点2公式的其他变形公式的其他变形(R为△ABC外接圆的半径)(1)a=,b=,c=;?(3)a∶b∶c=.?过关自诊在△ABC中,若2asinC=c,则角A=.?2RsinA2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC解析设△ABC的外接圆的半径为R,由正弦定理,得2×2RsinAsinC45°或135°

知识点3三角形的面积公式1.在△ABC中,若ha,hb,hc分别表示边a,b,c上的高,则

名师点睛三角形面积公式的其他形式

过关自诊1.在△ABC中,若AB=3,BC=4,∠B=120°,则△ABC的面积等于.?2.在△ABC中,若a=2,b=8,S△ABC=4,则∠C=.?答案30°或150°

重难探究?能力素养全提升

探究点一已知两角和一边解三角形【例1】在△ABC中,已知∠B=30°,∠C=105°,b=4,解三角形.解因为∠B=30°,∠C=105°,所以∠A=180°-(∠B+∠C)=180°-(30°+105°)=45°.

规律方法已知两角及一边解三角形的解题方法(1)若所给边是已知角的对边,可先由正弦定理求另一边,再由三角形的内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边.(2)若所给边不是已知角的对边,则先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.

变式训练1答案D

探究点二已知两边和其中一边的对角解三角形

规律方法已知三角形的两边和其中一边的对角时解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边所对的角的正弦值.(2)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中“大边对大角,大角对大边”的法则能判断另一边所对的角是锐角还是钝角.(3)当已知的角为小边所对的角时,不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求得两个角,要分类讨论.

变式探究本例中,将条件改为“a=5,b=2,∠B=60°”,解三角形.

探究点三判断三角形的形状【例3】在△ABC中,若(a-ccosB)sinB=(b-ccosA)sinA,判断△ABC的形状.解∵(a-ccosB)sinB=(b-ccosA)sinA,整理,得(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2,即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴a2+b2-c2=0或a2=b2.∴a2+b2=c2或a=b.故△ABC为直角三角形或等腰三角形.

规律方法三角形形状的判断方法判断三角形的形状,就是根据题目条件,分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下:(1)化边为角,走“三角变形”之路,常用的转化方式有:

变式训练2设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.下列有关等边三角形的命题正确的是.?答案②③

∴cosA=cosB=cosC,∵角A,B,C∈(0,π),∴∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形,正确.∴正确叙述的序号是②③.

探究点四三角形面积公式的应用【例4】计算下列各三角形的面积.(1)在△ABC中,a=5,c=3,∠B=150°;(2)在△ABC中,a=8,b=8,∠A=30°;(3)在△ABC中,a=2,b=3,c=4.

规律方法三角形面积的求解思路求三角形面积时,由于三角形面积公式有不同形式,因此实际使用时要结合题目的条件灵活运用公式求解.当三角形的两边及其夹角都已知或能求出

变式训练3

素养培优对三角形解的个数的探究已知三角形的两角和任意一边,求其他的边和角,此时有唯一解,即当三角形的两角和任意一边确定时,三角形被唯一确定.已知三角形的两边和其中一边的对角,求其他的边和角,此时可能出现一解、两解或无解的情况,三角形不能被唯一确定.因此“已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角”时,需要分析三角形解的情况,下面以已知a,b和角A解三角形为例进行说明.由正弦定理、正弦函数的性质及