湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第1章 平面向量及其应用 1.4.2 向量线性运算的坐标表示.ppt

第1章平面向量及其应用1.4.2向量线性运算的坐标表示

课标要求1.会用坐标表示平面向量加法、减法与数乘运算.2.能用坐标表示平面向量共线的条件.

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基础落实?必备知识全过关

知识点平面上向量的运算与坐标的关系1.向量加法与减法运算的坐标表示两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的和(或差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(或差),即a±b=(x1,y1)±(x2,y2)=(x1±x2,y1±y2).2.向量数乘运算的坐标表示一个实数λ与向量a=(x,y)的积的坐标等于这个数乘以向量相应的坐标,即λa=λ(x,y)=________.?3.向量坐标公式(λx,λy)(x2-x1,y2-y1)

4.向量共线的坐标表示(x1,y1)∥(x2,y2)?______________.?x1y2-y1x2=0

名师点睛描述两向量共线的三种方法(1)几何表示法:若两向量a与b共线,则存在实数λ,使得b=λa或a=λb.它体现了向量a与b的大小及方向之间的关系.(2)代数表示法:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则当a与b共线时x2y1=x1y2.用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数λ,从而减少了未知数的个数,而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征.

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同.()(2)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.()××A

3.若a=(3,-2),b=(-1,4),则2a+3b=________.?(3,8)解析2a+3b=2(3,-2)+3(-1,4)=(6,-4)+(-3,12)=(3,8).(2,10)(-2,-10)

重难探究?能力素养全提升

探究点一向量的坐标运算

规律方法向量坐标运算要注意的问题(1)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,同时要注意三角形法则及平行四边形法则的应用.(2)若已给出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.(3)向量线性运算的坐标表示可完全类比数的运算进行.

变式训练1[北师大版教材习题]已知a=(2,4),b=(-1,1),求2a-3b,4a+2b的坐标.解2a-3b=(4,8)-(-3,3)=(7,5);4a+2b=(8,16)+(-2,2)=(6,18).

探究点二向量坐标运算的应用

规律方法平面向量坐标运算应用技巧(1)坐标形式下向量相等的条件:相等向量的对应坐标相等;对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.(2)利用坐标运算求向量在一组基下的表示,一般先求基和被表示向量的坐标,再利用待定系数法.设c=xa+yb,在求解时要运用相等向量坐标相同的关系列方程(组)求出x,y的值.

探究点三共线向量的判断与证明

探究点四根据向量共线求参数值【例4】已知向量a=(-1,x),b=(x-2,-3),若向量2a+b与向量3a-2b共线,求实数x的值.解因为a=(-1,x),b=(x-2,-3),所以2a+b=(x-4,2x-3),3a-2b=(-2x+1,3x+6).因为向量2a+b与向量3a-2b共线,所以(x-4)(3x+6)=(2x-3)(-2x+1),整理得x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1.故实数x的值是3或-1.

变式探究本例中,若已知“向量a=(-1,x),b=(x-2,-3)反向”,如何求实数x的值?解(方法1)由题意可知向量a=(-1,x),b=(x-2,-3)共线,则有(-1)×(-3)=x(x-2),即x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1.当x=3时,a=(-1,3),b=(1,-3),这时a=-b,a与b反向;当x=-1时,a=(-1,-1),b=(-3,-3),这时3a=b,a与b同向,故实数x的值为3.(方法2)因为向量a=(-1,x),b=(x-2,-3)反向,所以设a=λb(λ0),即(-1,x)=λ(x-2,-3),

规律方法根据向量共线求参数值的方法根据向量共线的条件求参数值的问题,一般有两种处理思路,一是利用共线向量基本定理列方程组求解,二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0或(y1y2≠0)直接求解.

探究点五利用共线向量证明三点共线规律方法三点共线的实质与证明步骤(1)实质:三点共线问题的实质是向量共线问题.两个向量共线只需满足方向相同或相反.(2)证明步骤:①证明向量平行;②证明两个向量有公共点.

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