湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第3章 3.4 复数的三角表示.ppt

3.4复数的三角表示第3章

课标要求1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示.2.理解复数的代数形式与三角形式之间的关系.3.理解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.

内容索引0102基础落实?必备知识全过关重难探究?能力素养全提升03学以致用?随堂检测全达标

基础落实?必备知识全过关

知识点1i2=-1的几何意义及旋转任意角1.虚数单位i乘任意复数z的几何意义是:将复数z对应的平面向量旋转.?本节所说的“旋转”都是“逆时针旋转”2.用cosα+isinα乘任意复数z,其几何意义是:将复数z对应的平面向量旋转.?90°角α

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知识点2复数的三角表示我们将以x轴的正半轴为始边,以OP为终边的角θ,称为复数z=a+bi的,记作argz=θ.?辐角

所以a+bi=rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ),其中r=,cosθ=,sinθ=.?我们将r(cosθ+isinθ)称为复数a+bi的三角形式.2.两个复数z1=|z1|(cosθ1+isinθ1),z2=|z2|(cosθ2+isinθ2)相等的充分必要条件是|z1|=|z2|=0,或|z1|=|z2|0且θ2=θ1+2kπ,k∈Z.

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)复数0的辐角一定是0.()(2)一个给定的复数,其辐角也是唯一确定的.()(3)复数i的辐角可以为-π.()××√

2.将下列复数表示为三角形式:(1)-5i;(2)-10;(3)2-2i.

知识点3复数三角形式乘法法则与几何意义1.已知z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),则z1·z2=.?这就是说,两个复数乘积的模等于它们的,乘积的辐角等于它们的.?推广:[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ),其中n∈N+.r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]模的乘积辐角之和

2.复数乘法的几何意义

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知识点4复数三角形式除法法则与几何意义这就是说,两个复数相除(除数不为0),商的模等于它们的模的商,商的辐角等于它们的辐角之差.2.复数除法的几何意义

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重难探究?能力素养全提升

探究点一旋转任意角【例1】将下列复数z1对应的向量逆时针旋转60°,135°,求新向量对应的复数z2,z3.(1)z1=2i;(2)z1=4-2i.规律方法将复数对应的向量旋转任意角,可转化成复数的乘法.

变式探究将本例(2)改为z1=-2+4i,求z2,z3,并判断复数对应的点所在的象限.

探究点二复数的三角形式【例2】将下列复数表示成三角形式.(1)5i;(2)8;(3)-3-3i;(4)-1+i.(2)模长r=8,辐角arg8=0,所以8=8(cos0+isin0).

规律方法复数的代数形式z=a+bi化为复数三角形式的一般步骤是:复数在[0,2π)范围内的辐角即可);(3)写出复数的三角形式.

变式训练1将下列复数中代数形式的表示成三角形式,三角形式的表示成代数形式.解(1)模长r=1,辐角arg(-1)=π,∴-1=cosπ+isinπ.

探究点三复数三角形式的乘法运算【例3】计算下列各式:

规律方法两个复数三角形式乘法的法则可简记为:模数相乘,辐角相加,并且可以作以下推广:(1)有限个复数相乘,结论亦成立.即z1·z2·…·zn=r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)·…·rn(cosθn+isinθn)=r1·r2·…·rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)].(2)当z1=z2=…=zn=z时,即r1=r2=…=rn=r,θ1=θ2=…=θn=θ,有zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ),这就是复数三角形式的乘方法则,即:模数乘方,辐角n倍.

变式训练2

探究点四复数三角形式的除法运算【例4】计算下列各式:(2)原式=9[cos(270°+90°)+isin(270°+90°)]=9(cos360°+isin360°)=9.

规律方法进行两个复数的三角形式除法运算时,将模对应相除当模,用被除数辐角减去除数的辐角当做商的辐角,即可得两个复数的除法结果.

变式训练3计算下列各式:

素养培优数形结合思想求复数的模及辐角范围【典例】若z∈C,|z-2|≤1,求|z|的最大、最小值和argz在[