概率中的综合问题-高考数学复习.pptx

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概率中的综合问题

概率中的综合问题是考查学生应用意识的重要载体,解决此类问

题的关键是通过阅读理解题意,作出分析判断,获取关键信息;搞清

各数据、各事件间的关系,建立适当的数学模型,把实际问题转化为

数学问题,结合已有的数学知识,对实际问题作出合理的解释或决策.

概率与函数的交汇问题【例1】根据社会人口学研究发现,若一个家庭有X个孩子,则X的

概率分布列如下表所示(取一个家庭有4个及以上孩子的概率为0).X0123Pα(1-p)2αα(1-p)其中0<α<p<1.为了调控未来人口结构,需要对参数p进行宏观调

控,研究表明p的值受到各种因素的影响(例如生育保险的增加,教

育、医疗福利的增加等).

(1)若希望P(X=2)增大,如何调控p的值??

?

??

?

解题技法概率与函数的交汇问题,多以概率问题为解题主线,通过设置变

量,利用随机变量的概率、均值与方差的计算公式构造函数.求解时可

借助二次函数的性质、函数的单调性或导数确定最优解.解决此类问题

应注意以下两点:(1)准确构造函数,利用公式搭建函数模型时,

由于随机变量的均值、方差,随机事件概率的计算中涉及变量较多,

式子较为复杂,所以准确运算化简是关键;(2)注意变量的范围,

一是题中给出的范围,二是实际问题中变量自身范围的限制.

?

(1)求P(X=3)的最大值;??

??

?

【例2】(2023·新高考Ⅰ卷21题)甲、乙两人投篮,每次由其中一人

投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.

无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的

命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、

乙的概率各为0.5.概率与数列的交汇问题(1)求第2次投篮的人是乙的概率;解:设“第2次投篮的人是乙”为事件A,则P(A)=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6.

(2)求第i次投篮的人是甲的概率;?

?

?解:设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi,则Xi的可能取值

为0或1,当Xi=0时,表示第i次投篮的人是乙,当Xi=1时,表

示第i次投篮的人是甲,∴P(Xi=1)=pi,P(Xi=0)=1-pi,∴E(Xi)=pi.

?

解题技法概率与数列问题的交汇,多以概率的求解为主线,建立关于概率

的递推关系.解决此类问题的基本步骤为:(1)精准定性,即明确所

求概率的“事件属性”,这是确定概率模型的依据,也是建立递推关

系的准则;(2)准确建模,即通过概率的求解,建立递推关系,转

化为数列模型问题;(3)解决模型,也就是递推数列的求解,多通

过构造的方法转化为等差、等比数列的问题求解.求解过程应灵活运用

数列的性质,准确应用相关公式.

(2024·临沂一模)从甲、乙、丙等5人中随机地抽取三个人去做传

球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出,每次传球时,传球者都

等可能地将球传给另外两个人中的任何一人,每次必须将球传出.

(1)记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量X,求X的分

布列;?X123P

(2)若刚好抽到甲、乙、丙三个人做传球训练,且第1次由甲将球传

出,记n次传球后球在甲手中的概率为pn,n=1,2,3,….①直接写出p1,p2,p3的值;②求pn+1与pn的关系式,并求pn(n∈N*).?

?

?

【例3】必威体育精装版研发的某产品每次试验结果为成功或不成功,且每次

试验的成功概率为p(0<p<1).现对该产品进行独立重复试验,若

试验成功,则试验结束;若试验不成功,则继续试验,且最多试验8

次.记X为试验结束时所进行的试验次数,X的数学期望为E(X).概率中的证明问题

?解:证明:由题意,X=1,2,3,…,8,故P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…,7,P(X=

8)=(1-p)7.分布列如下表所示:X1234Ppp(1-p)p(1-p)2p(1-p)3X5678Pp(1-p)4p(1-p)5p(1-p)6(1-p)7

?

(2)某公司意向投资该产品,若p=0.2,每次试验的成本为a(a>

0)元,若试验成功则获利8a元,则该公司应如何决策投资?请

说明理由.?

解题技法解决概率中的证明问题的关键是理解随机事件中互斥、对

立、独立事件的概念及相互关系,理解条件概率、全概率公式的

意义及性质,掌握随机变量的分布列、均值、方差的计算公式,

掌握二项分

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