湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第4章 立体几何初步 4.4.2 平面与平面垂直.ppt

;;基础落实?必备知识全过关;;;文字;过关自诊

1.平面几何中,“角”是如何定义的?;3.[北师大版教材习题]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过A,B,D三个点作一个平面,请画出二面角A-BD-A1的平面角,并说明画图的根据.;;名师点睛

1.过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直,过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直.

2.若一条直线与已知平面相交但不垂直,则过该直线有且仅有一个平面与已知平面垂直.;过关自诊

[人教A版教材习题]如图,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,你能发现哪些平面互相垂直,为什么?;解平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD,平面ABC⊥平面ACD.

理由:因为AB⊥平面BCD,AB?平面ABC,AB?平面ABD,

所以平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD.

因为AB⊥平面BCD,CD?平面BCD,所以AB⊥CD.

又BC⊥CD,AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC.

因为CD?平面ACD,所以平面ABC⊥平面ACD.;;过关自诊

判断正误.(正确的画√,错误的画×)

(1)已知两个平面垂直,则一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线.()

(2)已知两个平面垂直,则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.()

(3)已知两个平面垂直,则过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.();;;证明∵∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,

∴△ASB和△ASC是等边三角形,

则有SA=SB=SC=AB=AC,

令其值为a,则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.取BC的中点D,如图,连接AD,SD,则AD⊥BC,SD⊥BC,

∴∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.

在Rt△BSC中,∵SB=SC=a,;规律方法证明平面与平面垂直的方法

(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角,其判定的方法是:

①找出两相交平面的平面角;

②证明这个平面角是直角;

③根据定义,这两个相交平面互相垂直.;(2)利用面面垂直的判定定理:要证面面垂直,只需证线面垂直.即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法,其基本步骤是:

;变式训练[人教A版教材例题]如图,AB是☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点.求证:平面PAC⊥平面PBC.;;证明在平面VAB内,过点A作AD⊥VB于点D.

∵平面VAB⊥平面VBC,且交线为VB,∴AD⊥平面VBC.∴AD⊥BC.

∵VA⊥平面ABC,∴VA⊥BC.

∵AD∩VA=A,且VA?平面VAB,AD????面VAB,

∴BC⊥平面VAB.∵AB?平面VAB,∴AB⊥BC.;变式探究本例中的已知换为:平面VAB⊥平面ABC,平面VAC⊥平面ABC,CA⊥AB.试证:VA⊥BC.;规律方法1.在运用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题.

2.平面与平面垂直的其他性质:

(1)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.

(2)如果两个平面垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.

(3)如果两个平面垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.;;解析(1)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AD⊥PA.

∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.

又由题意∠BAD=90°,∴二面角B-PA-D的平面角的大小为90°.

(2)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AC⊥PA.

∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.

又四边形ABCD为正方形,∴∠BAC=45°.

即二面角B-PA-C的平面角的大小为45°.;变式探究在题设条件不变的情况下,若PA=AD,求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小.;规律方法1.求二面角的平面角的大小的步骤如下:

?

?

?;2.作二面角的平面角的常用方法:

(1)定义法.在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①,则∠AOB为二面角α-l-β的平面角.

(2)垂面法.过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.

(3)垂线法.过二面角的一个棱以外的半平面部分的A点向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图③,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.

;转化思想在线线、线面、面面垂直中的应用

【典例】已知α