高等代学1.4整数的一些整除性质PPT1.ppt

1.4整数的一些整除性质1.4.2最大公因数1.4.3互素1.4.4素数及简单性质一个正整数p1叫做一个素数，如果除了1和p外，没有其它因数.1.4整数的一些整除性质**1.4.1整除与带余除法若a整除b.这时a叫做b的一个因数，而b叫做a的一个倍数.设a，b是两个整数，如果存在一个整数d，使得b=ad，那么就说a整除b（或者说b被a整除）.用符号a|b表示a整除b.用符号表示a不整除b.问题1这里的a可以等于零吗?整除的基本性质：①②③④⑤任意整数都可以被1和-1整除.任意整数都整除零.任意整数a都可以被它自己和它的相反数-a整除.⑥⑦⑧定理1.4.1（带余除法）设a，b是整数且，那么存在一对整数q和r，使得满足以上条件的整数q和r是唯一确定的.那么，而证令因为，所以S是N的一个非空子集.根据最小数定理（对于N），S含有一个最小数.即存在，使得r=b-aq是S中的最小数.于是b=aq+r，并且.如果，这与r是S中最小数的事实矛盾.假设还，使得于是就有.也就是说所以.如果.这样必须，从而，

因此.那么定理1.4.1中唯一确定的整数q和r分别叫做以a除b所得的商和余数.注意:(1)商数q可正可负,余数r总是非负数;(2)若r=0,则a整除b;(3)这里的a可以等于零吗?设a，b是两个整数，满足下列条件的整数d叫做a与b的最大公因数：；①.如果②①一般地，设是n个整数.满足下列条件的整数d叫做的一个最大公因数：②定理1.4.2任意个整数都有最大公因数.如果d是的一个最大公因数，那么-d也是一个最大公因数；的两个最大公因数至多只相差一个符号.设不全为零.I显然不是空集.证由最大公因数的定义和整除的基本性质，显然最后一个论断是成立的.如果.显然0就是的最大公因数.考虑Z的子集因此设则d就是的一个最大公因数.又由带余除法，有因为对于每一个i又因为不全为零，所以I含有非零整数.于是由最小数原理，有一个最小数d.首先，因为，所以d0并且d有形式则是正整数集的一个非空子集.不妨设，那么这与d是中的最小数的事实矛盾.另一方面，如果.那么故d是的一个最大公因数.则必有，如果某一个.定理1.4.3设d是的一个最大公因数.那么存在整数，使得因而存在，使得

证若.那么d=0，结论显然成立.设不全为零.

由定理1.