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突变理论及其在机械工程领域的应用现状

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突变理论及其在机械工程领域的应用现状

众所周知，事物发展存在着2种演化方式：渐变和突变。几乎所有的渐变过程都可以用牛顿莱布尼茨创立的微积分方程来解释和分析，然而对于自然界中普遍存在的非连续现象（如地震、火山爆发、泥石流等）的描述和研究则要用到另一种数学理论模型——突变理论。突变理论创立于20世纪70年代初，是研究不连续现象的数学分支。40多年来，突变理论得到了很大发展，也成功地应用到各个研究领域，机械工程领域也不例外。但突变理论并没有像微积分那样得到普遍的认识，甚至有一些研究者没有听说过突变理论，究其原因：1）突变是一种非连续、复杂的非线性现象，突变理论虽然能很好地描述，但很难像微积分描述渐变过程那样直观、形象；2）其提出者托姆对其表述是定性的，并没有给出证明，只指出进一步研究的方向；3）初学者对其的误解——简单的从字面认识突变理论，认为其属于一种纯理论的理论，而不知道突变理论从其诞生之日起就是一种旨在应用的理论。鉴于此，本文在阅读大量参考文献的基础上对突变理论作了一个较为通俗易懂的介绍，并总结了其在机械工程领域中的应用实例和发展现状，可为突变理论的初学者提供帮助，也可为解决机械工程中的突变现象提供参考。

1突变理论简介

1.1突变理论的产生

自然界中存在各种事物的连续、渐变、平滑运动变化过程，人们可以借助一般性的数学理论（如微积分）对其规律进行研究，甚至能精确地预测其未来的运动状态，如地球绕太阳旋转。但是，在自然界和社会现象中，还有许多突变和飞跃的过程，飞跃造成的不连续性把系统的行为空间变成不可微的，对于这些问题一般的数学理论就无法解决，然而这种非连续的现象一旦发生往往就是重大的变化，有些是有益的，如水的突然沸腾；有些有益与否与环境有关，如基因突变；更多的则会直接导致重大的人身伤害和物质损失，如火山爆发、地震、房屋倒塌、瓦斯爆炸、煤层倒塌等。那么，这些看似偶然的飞跃与不连续的现象能否用一般的数学理论来描述呢？1972年，法国数学家雷内·托姆在《结构稳定性和形态发生学》一书中，明确地阐明了突变理论，从而宣告了突变理论的诞生[1]。

1.2突变理论的基本原理

突变理论是解释渐变的量变到突然的质变这一现象的理论，虽然其基础理论涉及拓扑学、群伦、起点理论、分叉理论等一些高深理论，但是实际应用起来却非常简单易行。它以2个假设为前提[2]。

1）假定系统在任何时刻的状态都可完全地由给定n个变量系统受到m个独立变量（u1，u2，…，um）的控制，即这些变量的值决定了xi的值，并把xi叫做状态变量或内部变量，ui叫做控制变量或外部变量。实际应用中，给出的限制比看起来可能的限制为少，因为略去了所有那些对所研究的不连续性影响不大的独立变量，而如果一个系统的形态是不连续的，并且与6个或者更多的独立变量密切相关，则用任何办法显然都很难处理它。可喜的是，在应用突变理论时，可能出现的性质不同的不连续构造的数目并不取决于状态变量的数目（这可能很大），而取决于控制变量的数目（这一般较小）。特别是如果控制变量的数目不大于4，那么只有7种不同类型的突变，而且其中没有一种牵涉到2个以上的状态变量，如表1所示。

表1基本突变类型[3]

Tab.1Categoriesofelementarycatastrophemodel[3]

突变类型势函数变量个数参量个数折叠型x3+mx11尖点型x4+mx2+nx12燕尾型x5+mx3+nx2+ωx13蝴蝶型x6+tx4+mx3+nx2+ωx14双曲脐型x3+y3+ωxy-mx-ny23椭圆脐型x3-xy2+（x2+y2）-mx+ny23抛物脐型x4+x2y+ux2+ty2-mx-ny24

2）假定系统的动力学可由一个光滑的势导出。在热力学系统中，势是自由能，由系统演化的方向决定；力学系统中，势是相对保守的位置能；在社会领域，势为系统采取某种趋向的能力。势由系统各个组成部分的相对关系、相互作用及系统与环境的相对关系决定；因此，系统势可以通过系统的状态变量和外部参量描述系统的行为。一般来说，被研究对象行为构成的行为与控制空间在数学上是高维状态的超平面R（n+m），其中，n为行为（状态）变量的个数，m为控制变量的个数。

此外，把某一平滑函数的位势导数为零的点叫做定态点。而在某些定态点附近，连续变化的原因引起不连续的结果，则将这些退化的定态点称为奇点，并把系统趋向的一个极限状态称为吸引子。

基于这样的假设和定义，突变理论有可能预测系统的许多定性性态，甚至不知道是一些什么微分方程也行，更不用说不知道如何解它们了，并且这是在少数几个假设的基础上完成的，令人惊讶的是这些假设并非限制性的。

1.3突变理论的基本特性