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湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.已知,则(????)
A. B.
C. D.
2.若复数满足(是虚数单位),则等于(????)
A. B. C. D.
3.已知平面向量,则向量在向量上的投影向量为(????)
A. B. C. D.
4.记为等差数列的前项和,若,则(????)
A.21 B.19 C.12 D.42
5.某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分,90分以上(含90分)为及格.阅卷结果显示,全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布,试卷的难度系数(难度系数平均分/满分)为0.49,标准差为22,则该次数学考试及格的人数约为(????)附:若,记,则.
A.136人 B.272人 C.328人 D.820人
6.已知,则(????)
A. B. C. D.
7.已知是双曲线的左?右焦点,以为圆心,为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点,若,则双曲线的离心率的取值范围是(????)
A. B. C. D.
8.已知函数若关于的方程有且仅有两个实数根,则实数的取值范围是(????)
A. B. C. D.
二、多选题
9.如图,在正方体中,分别为棱的中点,点是面的中心,则下列结论正确的是(????)
A.四点共面 B.平面被正方体截得的截面是等腰梯形
C.平面 D.平面平面
10.已知函数,则(????)
A.的一个对称中心为
B.的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象
C.在区间上单调递增
D.若在区间上与有且只有6个交点,则
11.已知定义在上的偶函数和奇函数满足,则(????)
A.的图象关于点对称
B.是以8为周期的周期函数
C.
D.
三、填空题
12.的展开式中的系数为.
13.已知函数是定义域为的奇函数,当时,,且,则不等式的解集为.
14.已知点为扇形的弧上任意一点,且,若,则的取值范围是.
四、解答题
15.的内角的对边分别为,已知.
(1)求角;
(2)若角的平分线交于点,求的长.
16.已知为函数的极值点.
(1)求的值;
(2)设函数,若对,使得,求的取值范围.
17.已知四棱锥中,平面底面为的中点,为棱上异于的点.
(1)证明:;
(2)试确定点的位置,使与平面所成角的余弦值为.
18.在平面直角坐标系中,抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的短轴长,点在抛物线上,圆(其中).
(1)若为圆上的动点,求线段长度的最小值;
(2)设是抛物线上位于第一象限的一点,过作圆的两条切线,分别交抛物线于点.证明:直线经过定点.
19.龙泉游泳馆为给顾客更好的体验,推出了A和B两个套餐服务,顾客可选择A和B两个套餐之一,并在App平台上推出了优惠券活动,下表是该游泳馆在App平台10天销售优惠券情况.
日期t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售量千张
1.9
1.98
2.2
2.36
2.43
2.59
2.68
2.76
2.7
0.4
经计算可得:.
(1)因为优惠券购买火爆,App平台在第10天时系统出现异常,导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少,已知销售量y和日期t呈线性关系,现剔除第10天数据,求y关于t的经验回归方程结果中的数值用分数表示;
(2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为,选择B套餐的概率为,并且A套餐可以用一张优惠券,B套餐可以用两张优惠券,记App平台累计销售优惠券为n张的概率为,求;
(3)记(2)中所得概率的值构成数列.
①求的最值;
②数列收敛的定义:已知数列,若对于任意给定的正数,总存在正整数,使得当时,,(是一个确定的实数),则称数列收敛于.根据数列收敛的定义证明数列收敛.
参考公式:.
答案第=page11页,共=sectionpages22页
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参考答案:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
A
B
D
B
C
BD
BD
题号
11
答案
ABC
1.D
【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域,求出集合,再求交集.
【详解】集合,
则,
故选:D.
2.C
【分析】由复数的除法运算计算可得,再由模长公式即可得出结果.
【详解】依题意可得,
所以.
故选:C
3.A
【分析】
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