2023-2024学年海南省海南中学衍林杯九年级（下）竞赛数学试卷.doc

2023-2024学年海南省海南中学衍林杯九年级（下）竞赛数学试卷

一、解答题。

1．为了加强学生的安全教育，某市中学举行了一次“安全知识竞赛”共有1600名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请你根据下面的频数分布表和频数分布直方图，解答下列问题：

组别

分数段

频数

A

50.5≤x＜60.5

4

B

60.5≤x＜70.5

a

C

70.5≤x＜80.5

12

D

80.5≤x＜90.5

10

E

90.5≤x＜100.5

6

合计

b

（1）频数分布表中a＝，b＝；

（2）扇形C的圆心角的度数为；

（3）若成绩在80分以上（不含80分）为优秀，估计该校成绩达到优秀的学生有人；

（4）在样本A组中，四名同学为3男和1女，若从中抽取两名同学，则刚好抽到一男一女的概率是．

2．时刻保持网络畅通，通信塔是必不可少的．某移动公司在一处坡角为30°的坡地新安装了一架通信塔，已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得通信塔的塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方78米的点B处测得P点的俯角为12°，求该通信塔的塔杆PD的高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin12°≈0.208，cos12°≈0.978，tan12°≈0.213）

3．问题情境：在正方形ABCD中，E为边BC上一动点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．

（1）如图1，当N点与D点重合时，

①求证：△ABE≌△DAM；

②当E为BC的中点时，求的值；

③若正方形边长为4，当E在BC边上运动时，连接BP，则BP的最小值是．

（2）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ并延长，交边AD于点F，求∠AEF的度数；

（3）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P′处．若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，连接P′S，直接写出线段P′S的取值范围．

4．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．OB＝2OC，连接BC．

（1）求抛物线的解析式，并直接写出直线BC的函数表达式；

（2）点D是第四象限内抛物线上一点，过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，当CE平分∠BCD时，求点D坐标；

（3）若点M是抛物线上的一点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，Q是平面内一点，当以点B，M，N，Q为顶点的四边形为菱形时，求出点Q的坐标；

（4）如图2，若以A为圆心，1为半径作⊙O，P为⊙O上一动点，直接写出的最小值．