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第2课时双曲线的简单几何性质(二)

考点一双曲线的渐近线方程

求过点(2，－2)且与双曲线eq\f(x2,2)－y2＝1有共同渐进线的双曲线的标准方程．

【解】方法一：当焦点在x轴上时，可知eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，故可设所求双曲线的方程为eq\f(x2,2b2)－eq\f(y2,b2)＝1，代入点(2，－2)，得b2＝－2(舍去)；当焦点在y轴上时，可知eq\f(a,b)＝eq\f(\r(2),2)，故可设所求双曲线的方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,2a2)＝1，

代入点(2，－2)，得a2＝2.

所以所求双曲线的标准方程为eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1.

方法二：因为所求双曲线与已知双曲线eq\f(x2,2)－y2＝1有相同的渐近线，所以可设所求双曲线的方程为eq\f(x2,2)－y2＝λ(λ≠0)，代入点(2，－2)，得λ＝－2，所以所求双曲线的方程为eq\f(x2,2)－y2＝－2，化成标准方程为eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1.

巧设双曲线方程的方法与技巧

(1)与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2)＝λ(λ≠0).

(2)渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).

1．以直线eq\r(3)x±y＝0为渐近线，一个焦点坐标为(0，2)的双曲线方程是()

A．eq\f(x2,3)－y2＝－1 B．x2－eq\f(y2,3)＝1

C．eq\f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,3)＝－1

解析：选D.因为一个焦点坐标为(0，2)，所以双曲线的焦点在y轴上．因为渐近线方程为eq\r(3)x±y＝0，所以可设双曲线方程为y2－3x2＝λ(λ0)，即eq\f(y2,λ)－eq\f(x2,\f(λ,3))＝1，故22＝λ＋eq\f(λ,3)，解得λ＝3，所以双曲线的方程为x2－eq\f(y2,3)＝－1.故选D.

2．已知双曲线过点(4，eq\r(3))，且渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，则该双曲线的标准方程为________．

解析：方法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，

所以可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0).

因为双曲线过点(4，eq\r(3))，所以λ＝16－4×(eq\r(3))2＝4，

所以双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－y2＝1.

方法二：因为渐近线y＝eq\f(1,2)x过点(4，2)，而eq\r(3)2，

所以点(4，eq\r(3))在渐近线y＝eq\f(1,2)x的下方，

在y＝－eq\f(1,2)x的上方(如图).

所以双曲线的焦点在x轴上，

故可设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0).

由已知条件可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\f(1,2)，,\f(16,a2)－\f(3,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1，))

所以双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－y2＝1.

答案：eq\f(x2,4)－y2＝1

考点二双曲线性质的综合应用

(1)已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为________．

(2)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)的右焦点为F，左顶点为A，O为坐标原点，以OF为直径作圆交双曲线的一条渐近线于点P，且|PA|＝|PF|，则双曲线的离心率e＝________．

【解析】(1)如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝eq\f(3,2)＋2＝eq\f(7,2).

(2)由题可知A(－a，0)，F(c，0)，双曲线的渐近线的方程为y＝±eq\f(b,a)x，可取y＝eq\f(b,a)x，

以OF为直径的圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(c2,4)，

联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1