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一份适合高中生的微积分讲义

孙老师

May7,2020

目录

1定积分的概念4

2定积分的性质7

3微积分基本定理8

4定积分的计算9

4.1直接法......................10

4.2常用积分公式..................10

4.3*分部积分法...................11

1

4.4*换元积分法...................12

5定积分的应用13

5.1面积........................13

5.2*弧长.......................15

5.3*体积.......................16

6高考真题17

2

考试大纲对定积分这部分内容的要求是:了解定积分的

概念和微积分基本定理,会求简单函数的定积分.近几年高考

涉及定积分的题目基本以小题为主,难度不大.定积分的核心

思想是极限思想,受知识储备和理解能力的限制,我们不可能

对它理解得很深刻.本文尽可能地在高中生的基础上讲明白

定积分的概念及应用,让同学们对定积分有一个正确的认识,

一方面能较好地应付高考,另一方面也为高等数学的学习打

下基础.文中标记*号的章节高中阶段不作要求,学有余力

的同学可以看看.

3

1定积分的概念

问题:如图1,阴影部分是由直线x=1,y=0和曲线

y=x2所围成的图形.如何计算这个图形的面积?

方法:我们利用化曲为直的方法来计算曲边梯形的面积,具

图1

体方法如下.

1.分割

在区间[0,1]等间隔地插入n−1个点,将它等分成n个小区

112n−1i−1i

间:[0,],[,],...,[,1],第i个区间为[,],区间长度为

nnnnnn

∆xi=i−i−1=1.分别过上述n−1个分点作x轴的垂线,把

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