专题1.2 三角形内角和定理的运用【八大题型】（举一反三）（浙教版）（解析版）.pdfVIP

专题1.2三角形内角和定理的运用【八大题型】

【浙教版】

【题型1运用三角形内角和定理直接求角的度数】1

【题型2三角形内角和定理与角平分线、高线综合】3

【题型3三角形内角和定理与平行线的性质综合】7

【题型4三角形内角和定理与折叠性质综合】10

【题型5三角形内角和定理与新定义问题综合】14

【题型6运用三角形内角和定理探究角的数量关系】18

【题型7判断直角三角形】24

【题型8运用直角三角形两锐角互余的性质倒角】28

【知识点1三角形的内角及内角和定理】

三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且

小于180°．三角形内角和定理：三角形内角和是180°．

【题型1运用三角形内角和定理直接求角的度数】

【例1】（2021秋•涡阳县期末）在△ABC中，已知∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，求∠A的度数．

【分析】将第一个等式代入第二等式用∠A表示出∠C，再根据三角形的内角和等于180°列方程求出∠

A，然后求解即可．

【解答】解：∵∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，

∴∠C＝∠A+10°+25°＝∠A+35°，

由三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°，

所以，∠A+∠A+10°+∠A+35°＝180°，

解得∠A＝45°．

【变式1-1】（2022春•武侯区校级期中）如图，点E、D分别在AB、AC上．若∠B＝30°，∠C＝50°，

则∠1+∠2＝°．

【分析】根据三角形的内角和定理列式整理可得∠1+∠2＝∠B+∠C，从而可求解．

【解答】解：∵∠1+∠2+∠A＝180°，∠B+∠C+∠A＝180°，

∴∠1+∠2＝∠B+∠C，

∵∠B＝30°，∠C＝50°，

∴∠1+∠2＝∠B+∠C＝30°+50°＝80°．

故答案为：80°．

【变式1-2】（2022•哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC

是度．

【分析】分两种情况：△ABC为锐角三角形或钝角三角形，然后利用三角形内角和定理即可作答．

【解答】解：当△ABC为锐角三角形时，如图，

∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，

∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°；

当△ABC为钝角三角形时，如图，

∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，

∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°．

综上所述，∠BAC＝80°或40°．

故答案为：80或40．

【变式1-3】（2022•南京模拟）已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为45

°，则∠BAC等于．

【分析】根据三角形的内角和定理．分∠BAC与这个45°的角在一个四边形内，及∠BAC与这个45°的

角不在一个四边形内两种情况讨论．

【解答】解：若∠BAC与这个45°的角在一个四边形BCDE内，

因为BD、CE是△ABC的高，设BD的延长线交CE的延长线于O．

∴∠AEC＝∠ADB＝90°，

∵∠O＝45°，

∴∠DAE＝180°﹣45°＝135°

∴∠BAC＝∠DAE＝135°；

若∠BAC与这个45°的角不在一个四边形BCDE内，

因为BD、CE是△ABC的高，

如图：∠BAC＝180°﹣（180°﹣45°）＝45°，

所以∠BAC等于45度．

若∠ACB是钝角，∠A是锐角，

易知∠ABD＝40°，∠A＝45°

综上所述，∠A的值为45°或135°．

故答案为：45°或135°．

【题型2三角形内角和定理与角平分线、高线综合】

【例2】（2022春•西湖区校级月考）如图，在△