山东省青岛市城阳区实验高级中学2024-2025学年高二上学期期初考试数学试卷.docx

青岛实验高中2023级数学期初检测

一?单选题：本题共8小题，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.已知向量的夹角为，若，则（）

A.1B.2C.3D.4

3.若，则（）

A.B.C.D.

4.设m?为空间中两条不同直线，为空间中两个不同平面，下列命题正确的是（）

A.若，，，则

B.若不垂直于，，则必不垂直于

C.若，，则

D.若?是异面直线，，，，，则

5.已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

6.已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为（）

A.B.C.D.

7.已知函数，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是（）

A.在上是增函数B.其图象关于直线对称

C.函数是奇函数D.在区间上的值域为

8.如图，在中，，，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则的最小值为（）

A.0B.C.D.

二?多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有数字1，2，3，…，9.从袋中任意抽取1张卡片，记“抽出的卡片号为1，4，7”为事件A，“抽出的卡片号小于7”为事件，“抽出的卡片号大于7”记为事件.下列说法正确的是（）

A.事件A与事件是互斥事件B.事件A与事件是互斥事件

C.事件A与事件相互独立D.事件与事件是对立事件

10.已知为虚数单位，则下列选项中正确的是（）

A.复数的模为5；

B.复数，则在复平面上的点在第四象限

C.复数是纯虚数，则或

D.若，则的最大值为

11.如图，在正方体中，若为棱的中点，点在侧面（包括边界）上运动，且平面，下面结论正确的是（）

A.点的运动轨迹为一条线段

B.直线与所成角可以为

C.三棱锥的体积是定值

D.若正方体的棱长为1，则平面与正方体的截面的面积为

三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.样本数据17，13，22，16，11，20，14，24的分位数为__________.

13.若各顶点都在一个球面上的正四棱柱，高为4，体积为16，则这个球的表面积是__________.

14.某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地，其中在上，，垂足为，，垂足为，设，则__________（用表示）；当在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是__________.

四?解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.

15.（13分）在中，角所对的边分别为，向量，，且，为线段上一点.

（1）求角的大小；

（2）若为角的角平分线，，的周长为15，求的长.

16.（15分）2023年秋末冬初，呼和浩特市发生了流感疾病.为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保.某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：

（1）若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩低于50分的人数；

（2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数；

（3）首轮竞赛成绩位列前的学生入围第二轮的复赛，请根据图中信息，估计入围复赛的成绩（记为）.

17.（15分）如图，在四棱锥中，为边上的中点，为边上的中点，平面平面，，，，.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

18.（17分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，为线段上的动点.

（1）若为的中点，求三棱锥的体积；

（2）若，问上是否存在点，使得平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由；

（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

19.（17分）在锐角中，角，，的对边为，，，若，.

（1）求角的大小；

（2）若为的中点，且，求的面积；

（3）如图，过点在所在平面内作，且满足.求线段的最大值.

青岛实验高中2023级数学期初检测答案

1.D2.D3.D4.D5.D6.A7.D8.C

9.AC10.ABD11.ACD

12.2213.14.；

15.解：（1），且，

由正弦定理得，

，在三角形中，，