2025届高考数学一轮复习——复数讲义.docxVIP

2025届高考数学一轮复习——复数讲义

【高考考情分析】

复数是高考的必考内容，多出现在选择题中，近几年多选题、填空题形式也有考查，试题较为简单，属于送分题，主要考查复数的概念和复数的四则运算.

【基础知识复习】

1.复数的有关概念

（1）复数相等：且.

（2）共轭复数：与共轭且.

（3）复数的模：复数对应的向量的模叫做z的模，记作或，即.

2.复数的几何意义

（1）复数复平面内的点.

（2）复数平面向量.

3.复数的加、减、乘、除运算法则

设，则

（1）加法：；

（2）减法：；

（3）乘法：；

（4）除法：.

4.复数加法的运算律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何，有，.

5.复数加、减法的几何意义

（1）复数加法的几何意义

若复数对应的向量不共线，则复数是以为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.

（2）复数减法的几何意义

复数是所对应的复数.

6.复数乘法的运算律：对于任意，有交换律：；结合律：；乘法对加法的分配律：.

【重点难点复习】

1.复数的模的运算性质

（1）；

（2）；

（3）.

2.共轭复数的相关运算

（1）为实数，且为纯虚数；

（2）；

（3），；

（4），，.

【基本方法与技能复习】

求解复数相关问题的技巧

（1）复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数概念有关的问题时，需先把所给复数化为的形式，再根据题意列方程（组）求解.

（2）求复数的模时，直接根据复数的模的公式和性质进行计算.

（3）复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重要的方法.

（4）在复数的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，把含有虚数单位i的项看作一类同类项，不含i的项看作另一类同类项；除法运算则需要分母实数化，解题中注意要把i的幂化成最简形式.

（5）由于复数、点、向量之间存在一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

【典型例题复习】

1.【2024年新课标Ⅰ卷】若，则()

A. B. C. D.

2.【2024年新课标Ⅱ卷】已知，则()

A.0 B.1 C. D.2

3.【2023年新课标Ⅰ卷】已知，则()

A. B.i C.0 D.1

4.【2023年新课标Ⅱ卷】在复平面内，对应的点位于()

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

5.【2022年新高考Ⅰ卷】若，则()

A.-2 B.-1 C.1 D.2

6.【2022年新高考Ⅱ卷】()

A. B. C. D.

答案以及解析

1.答案：C

解析：解法一：因为，所以，即，即，所以，故选C.

解法二：因为，所以，即，即，所以，故选C.

2.答案：C

解析：，故选C.

3.答案：A

解析：因为，所以，即.故选A.

4.答案：A

解析：，在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，故选A.

5.答案：D

解析：因为，所以，所以，所以.故选D.

6.答案：D

解析：，故选D.