湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第1章 1.6.1 余弦定理.ppt

;;内容索引;基础落实?必备知识全过关;知识点1余弦定理

1.文字语言:三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和这两边与它们夹角的的两倍.?

2.符号语言:

(1)在△ABC中,a2=,?

b2=,c2=.?;名师点睛

应用余弦定理解三角形的类型

(1)已知两边及其夹角求第三边及其他两角.

(2)已知三边求三角.;过关自诊

1.在△ABC中,若AB=1,AC=3,∠A=60°,则BC=.?;知识点2解三角形

从已知三角形的某些元素出发求这个三角形其他元素的过程叫作解三角形.

过关自诊;重难探究?能力素养全提升;;规律方法已知三角形的两边及一角解三角形的方法

已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边.;变式训练1;;规律方法已知三角形的三边解三角形的方法

(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦值,求出第一个角,再利用余弦定理求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角;

(2)利用余弦定理求出三个角的余弦值,进而求出三个角.;变式探究

本例(2)中,将条件变为“三角形的三条边长分别为2,+1”,求其最大角与最小角之和.;;规律方法三角形形状的判断方法

(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从“统一”入手,即使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线:①先化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系.②先化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系.

(2)判断三角形的形状时,经常用到以下结论:

①△ABC为直角三角形?a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2.

②△ABC为锐角三角形?a2+b2c2,且b2+c2a2,且c2+a2b2.

③△ABC为钝角三角形?a2+b2c2或b2+c2a2或c2+a2b2.;变式训练2

在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=bccosA+cacosB+

abcosC,则△ABC是三角形.(填“锐角”或“直角”或“钝角”)?;;(2)在锐角三角形ABC中,如图②,作CD⊥AB于点D,有CD=asinB,BD

=acosB,AD=AB-BD=c-acosB,b2=CD2+AD2=(asinB)2+(c-acosB)2=a2+c2-2accosB;

同理可证:c2=a2+b2-2abcosC,a2=b2+c2-2bccosA.;(3)在钝角三角形ABC中,如图③,作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则CD=asin∠CBD=asin∠ABC,

BD=acos∠CBD=-acos∠ABC,

AD=AB+BD=c-acos∠ABC,

b2=CD2+AD2=(asin∠ABC)2+(c-acos∠ABC)2

=a2+c2-2accos∠ABC.

同理可证:c2=a2+b2-2abcos∠ACB,a2=b2+c2-2bccosA.

综上所述,在任意的三角形中,余弦定理总是成立.;证法二(解析法)

对于任意一个△ABC,建立平面直角坐标系如图④所示,则A(bcos∠ACB,bsin∠ACB),B(a,0).

根据两点间的距离公式,有c2=|AB|2=(a-bcos∠ACB)2+(bsin∠ACB)2

=a2+b2-2abcos∠ACB,即c2=a2+b2-2abcos∠ACB,

同理可证:a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accos∠ABC.;学以致用?随堂检测全达标;答案A;2.在△ABC中,a=1,b=,c=2,则∠B等于()

A.30° B.45°

C.60° D.120°;3.已知△ABC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则以下为钝角三角形的是()

A.a=3,b=3,c=4

B.a=4,b=5,c=6

C.a=4,b=6,c=7

D.a=3,b=3,c=5;本课结束