2025年中考数学题型突破（全国）题型5 圆的相关证明与计算 类型2 与切线有关的证明与计算（专题训练）（教师版）.pdfVIP

类型二与切线有关的证明与计算（专题训练）

OABCO

．（湖南张家界统考中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，

12023··ADF

是延长线上一点，连接CD，CF，且DCFCAD．

AD

CFO

(1)求证：是的切线；

3

(2)若直径AD10,cosB，求的长．

FD

5

【答案】详见解析

(1)

90

(2)

7

【分析】根据直径所对的圆周角是直角，余角的性质即可求得结论；

(1)

(2)根据已知条件可知FCD∽FAC，再根据正切的定义和相似三角形的性质得到线段的关

系即可求得线段的长度．

FD

OC

【详解】（）证明：连接，

1

O

∵是的直径，

AD

∴ACD90，

∴ADCCAD90，

又∵OCOD，

∴ADCOCD，

又∵DCFCAD，

∴DCFOCD90，

即OCFC，

FCO

∴是的切线；

1

3

（2）解：∵BADC,cosB，

5

3

∴cosADC，

5

3CD

∵在RtACD中，cosADC,AD10,

5AD

3

∴CDADcosADC106,

5

∴22，

ACADCD8

CD3

∴，

AC4

∵FCDFAC，FF，

∴FCD∽FAC，

CDFCFD3

∴，

ACFAFC4

设FD3x，则FC4x，AF3x10，

又∵2，

FCFDFA

2

即(4x)3x(3x10)，

30

解得x（取正值），

7

90

∴FD3x，

7

【点睛】本题考查了圆周角的性质，切线的判定定理，正切的定义，相似三角形的性质和判

定，找出正切的定义与相似三角形相似比的关联是解题的关键．

ABCOOBEBCCE

2.如图，内接于，是的直径，为上一点，，延长交

ABEABAD

于点，ADAC．

D

O

（1）求证：是的切线；

AD

1

tanACEOE3BC

（2）若