湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第1章 1.6.3 解三角形应用举例.ppt

1.6.3解三角形应用举例第1章

课标要求能够运用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.

内容索引0102基础落实?必备知识全过关重难探究?能力素养全提升03学以致用?随堂检测全达标

基础落实?必备知识全过关

知识点解决实际测量问题的思路和步骤1.基本思路在运用解三角形的知识解决实际问题时,通常都应根据题意将实际问题转化为解三角形的问题,从中抽象出一个或几个三角形,然后解这些三角形,得出所要求的量,经检验后得到实际问题的解.2.基本步骤

过关自诊海上有A,B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C岛间的距离是()答案D

解析如图,∠C=180°-60°-75°=45°,AB=10海里.由正弦定理,

重难探究?能力素养全提升

探究点一测量距离问题【例1】如图,一名学生在河岸紧靠岸边笔直行走,开始在A处,经观察,在河的对岸有一参照物C,与学生前进方向成30°角,学生前进200m后到达点B,测得该参照物与前进方向成75°角.(注:已知sin105°=)(1)求点A与参照物C的距离;(2)求河的宽度.

规律方法三角形中与距离有关的问题的求解策略(1)解决与距离有关的问题,若所求的线段在一个三角形中,则直接利用正弦定理、余弦定理求解;若所求的线段在多个三角形中,要根据条件选择适当的三角形,再利用正弦定理、余弦定理求解.(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边,分析所解三角形中已知哪些元素,还需要求出哪些元素,灵活应用正弦定理、余弦定理.

变式训练如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,则河的宽度为m.?答案60

解析作CD⊥AB,垂足为D,则CD即为河的宽度.在△ABC中,∠CAB=30°,∠CBA=75°,所以∠ACB=75°,∠ACB=∠ABC,所以AC=AB=120m.

探究点二测量角度问题【例2】地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向,且距离他40m,之后该测绘人员沿正北方向行走了40m,达到点B.试确定此时目标参照物P相对于他的方位角以及他与目标参照物P的距离.因为AB=40m,所以AB=PB,所以∠APB=∠PAB=30°,所以∠PBA=120°.因此测绘人员到达点B时,目标参照物P相对于该测绘人员的方位角为180°-120°=60°,且目标参照物P与他的距离为40m.

规律方法测量角度问题画示意图的基本步骤

探究点三航海与追及中的问题【例3】如图,海面上一走私船正以每小时15海里的速度沿方位角120°方向航行,距离走私船18海里处的缉私艇测得该走私船当前的方位角为60°,并即刻以每小时21海里的速度径直追赶.求缉私船追上走私船所需的最短时间.

解如下图所示,在C点处缉私艇赶上走私船,在△ABC中,∠ABC=60°+(180°-120°)=120°,AB=18,设缉私艇追上走私船的最短时间为x小时,则AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,即(21x)2=182+(15x)2-2×18×15x×cos120°,化简得4x2-5x-6=0,解得x=2或x=-(不合题意,舍去).所以缉私艇追上走私船所需的最短时间是2小时.

学以致用?随堂检测全达标

答案D

解析在△ACD中,CD=100m,∠ADC=30°,∠DAC=∠ACB-∠ADC=45°-30°=15°,

答案C所以∠BAC=45°,所以下次航行直接从A出发到C,此船的航向为北偏东65°,故选C.

3.在某次军事演习中,红方为了准确分析战场形势,在两个相距为a的军事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处,且∠ADB=30°,∠BDC=30°,∠DCA=60°,∠ACB=45°,如图所示,求蓝方这两支精锐部队之间的距离.

解∵∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,又∠DCA=60°,

4.如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12nmile,渔船乙以10nmile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2h在C处追上.(1)求渔船甲的速度;(2)求sinα的值.

解(1)在△ABC中,∠BAC=180°-60°=120°,AB=12nmile,AC=10×2=20(nmile),∠BCA=α.由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=122+202-2×12×20×cos120°=784,解得