期末试卷汇编08：立体几何解析版.docx

广东省2022-2023年高三数学期末试卷分类汇编

专题08：立体几何解析版

一、单选

1.（深圳市罗湖区期末试题）正四面体中，是侧棱上（端点除外）的一点，若异面直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】先在正四面体中，作出对应的角，再比较三者间的的大小关系即可解决.

【详解】正四面体中，取中点，连接，，

过作于，连接，，

过作的平行线交于，则，

由，，，平面，平面

可得平面，则，则

由平面，可得平面平面，

又平面平面，平面，，

则平面，则，

因为，且，所以.

设正四面体边长为1，，有.

，

因为

所以，又，则

综上：

故选：C

2.（深圳市高级中学集团期末试题）已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积．

【详解】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，

由，得，

又，

所以，解得；

所以圆锥的高为，

所以圆锥的体积为．

故选：C．

3.（深圳市高级中学集团期末试题）如图，棱长为的正方体，点在平面内，平面与平面所成的二面角为，则顶点到平面的距离的最大值是（）

A B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】是正方体，当底面与平面所成的角与底面对角线所成的角相等时，顶点到平面的距离的最大；最大值作截平面图，由题知,利用平面几何知识求得即可

【详解】如图所示，当直线与面所成角等于面ABCD与面所成角时顶点到平面的距离最大，取截图，如下图所示：

作，，，

∵，，∴，

∵，，，∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴，

故选:B.

4.（汕头市高三期末试题）如图1，水平放置的直三棱柱容器中，，，现往内灌进一些水，水深为2．将容器底面的一边AB固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为三角形，如图2，则容器的高h为（）

A.3 B.4 C. D.6

【答案】A

【解析】

【分析】利用两个图形装水的体积相等即可求解.

【详解】在图1中，

在图2中，，

.

故选：A.

5.（清远市高三期末试题）在三棱锥中，“三棱锥为正三棱锥”是“且”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】验证充分性可根据正三棱锥的几何性质通过线面垂直的判定及性质判断线线垂直，必要性验证借助直四棱柱构造三棱锥满足，，结合直四棱柱的性质判断三棱锥是否为正三棱锥即可.

【详解】解：充分性：如图，在中，为中点，连接

若三棱锥正三棱锥，则为正三角形，且，

因为为中点，所以，又平面

所以平面，又平面，则，

同理可得，故充分性成立；

必要性：如图，

在直四棱柱中，底面为菱形，且，但

由直四棱柱及底面为菱形，易得，又，

则直四棱柱的侧面均为正方形，易得，且，

由于，则不为正三角形，故三棱锥不为正三棱锥，故必要性不成立；

综上，“三棱锥为正三棱锥”是“且”的充分不必要条件.

故选：A.

6.（惠州市高三期末试题）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，其中有如下记载：将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.现有如图所示的直径长为2的胶泥球胚，某数学兴趣小组的同学需在此胶泥球胚中切割出底面为正方形，且垂直于底面的侧棱与底面正方形边长相等的阳马模型的几何体（实物体），若要使该阳马体积最大，则应削去的胶泥的体积大约为（）（）

A.2.8 B.3.2 C.3.5 D.4.8

【答案】C

【解析】

【分析】根据阳马的定义，可借助截出阳马的正方体来求解体积，要使阳马体积最大，则原正方体的体积应该最大，即球的内接正方体，此时体对角线的长等于球的直径.

【详解】

如图正方体中，四棱锥即阳马.

设正方体边长为，体积为，显然，

所以，当该正方体体积最大时，该阳马体积最大.

在球的内部，任意构造一个正方体，显然球的内接正方体体积最大，应有正方体的对角线等于球的直径，即.

又，所以，则，则，

所以.

又球的体积为，

所以，应削去的胶泥的体积为.

故选：C.

7.（华南师范大学附属中学高三期末试题）古希腊亚历山大时期的数学家帕普斯在《数学汇编》第3卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即（表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，表示平面图形的面积，表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）.如图直角梯形，已知，则重心到的距离为（）