北京市海淀区北京交大附中2024届高三下学期3月开学诊断练习数学试题 Word版含解析.docx

北京交大附中2023—2024学年度第二学期3月开学诊断练习

高三数学

命题人：马晓伟、李剑审题人：李运秋

本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回．

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】解得出集合，然后根据并集的运算，即可得出答案.

【详解】解可得，，所以.

所以，.

故选：C.

2.已知复数满足，则复数的共轭复数为（）

A. B. C.1+i D.1?i

【答案】C

【解析】

【分析】

根据复数模的计算公式先求出模长，再利用复数的除法可得.

【详解】由，得z=，

∴.

故选：C.

【点睛】本题主要考查复数的相关概念，模长求解，共轭复数以及复数运算等，题目虽小，知识点很是丰富.

3.在数列中，，若为等差数列，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用等差中项求解即可．

【详解】解：由为等差数列得，解得.

故选：A

4.已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个交点，若，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用抛物线的定义及相似三角形的性质可得，从而可得正确的选项.

【详解】设准线与轴的交点为，则，

如图所示，因为，故，

过点作，垂足为M，则轴，所以，

所以，由抛物线定义知，，

故选：B．

5.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（）

A.1 B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.

【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，

过点作圆C的切线，切点为，

因为，则，

可得，

则，

，

即为钝角，

所以；

法二：圆的圆心，半径，

过点作圆C的切线，切点为，连接，

可得，则，

因为

且，则，

即，解得，

即为钝角，则，

且为锐角，所以；

方法三：圆的圆心，半径，

若切线斜率不存在，则切线方程为x=0，则圆心到切点的距离，不合题意；

若切线斜率存在，设切线方程为，即，

则，整理得，且

设两切线斜率分别为，则，

可得，

所以，即，可得，

则，

且，则，解得.

故选：B.

6.如图，在平面四边形ABCD中，

若点E为边CD上的动点，则的最小值为

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。

详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设

=

所以当时，上式取最小值，选A.

点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。

7.已知，点在曲线上，若线段与曲线相交且交点恰为线段的中点，则称为曲线关于曲线的一个关联点．记曲线关于曲线的关联点的个数为a，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，将问题转化为的解的个数，再构造函数，利用函数的单调性与零点存在定理判断函数的零点个数，从而得解.

【详解】设点的坐标为，则线段的中点为，

由题意可知，点在曲线上，

所以，即，

构造函数，其中，

由于函数与函数在0,+∞上为增函数，

所以函数在0,+∞上为增函数，

因为，，

所以函数存在唯一零点，即只有一个解，

所以曲线关于曲线的关联点的个数为.

故选：B.

8.“为锐角三角形”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据诱导公式可证充分性，再根据特例可判断必要性不成立，故可得正确的选项.

【详解】充分性：若为锐角三角形，因为，

所以，

同理可得，，故．

必要性：当，时，不等式成立，而此时并不是锐角三角形．

故选：A

9.已知函数的对称轴方程为，且函数在内恰有个零点，则满足条件的有序实数对（）

A.只有2对 B.只有3对 C.只有4对 D.有无数对

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意求得函数，把函数的零点个数转化为方程实根的个数，结合方程在内实根的个数，分类讨论，即可求解.

【详解】由函数，

因为函数图象的对称轴方程为，

当时，可得，当时，