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七年级数学寒假专题——恒等式、恒等变形

【本讲教育信息】

一.教学内容：

寒假专题——恒等式、恒等变形

二.重点、难点：

恒等变形是代数中非常重要的部分，主要用到因式分解以及分式的运算及逆

运算。

【典型例题】

[例1]如果多项式，当，为何值时，P

的值最小？并求出P的最小值。

分析：本题要运用因式分解配方，但是有这一项，所以应当有一个三

项的完全平方。

解：

∵当且仅当取“=”

又当且仅当时，取“=”

解得∴当时两个等号同时成立

∴即P的最小值是1991

[例2]当变化时，求分式的最小值。

分析：变化时，分子分母都在变化不好求解，所以要把此分式分化至只有

一个发生变化。

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解：

原式

当时，所以

则原式所以的最小值为4

[例3]计算：

分析：本题若直接通分再去化简计算量非常大，因此必须认真分析式子的结

构特点，寻找解决问题的突破口，不难发现

，，

，可设，，使问题的形

式简捷，有利于问题的解决。

解：

因为

令，，

则原式

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[例4]求证：。

分析：注意等式右边的如果乘到左边，那么问题将大大简化。

左

右边

[例5]已知，求证：。

分析：以连比形式出现的结论，容易让人想到非负数的性质，即若干个非负

数之和等于零，则这几个非负数均为零，所以应想到配方法。

证明：由已知条件化简得：

移项配方得：

∴

即故命题成立。

[例6]若，求证：。

分析：要证明命题成立，只要证：

即可

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因为则设

则，

则