高中数学：第4节　空间直线、平面的平行.docx

第4节空间直线、平面的平行

考试要求1.以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理.2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.

【知识梳理】

1.直线与平面平行

(1)直线与平面平行的定义

直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.

(2)直线与平面平行的判定定理与性质定理

文字语言

图形表示

符号表示

判定定理

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行

a?α，b?α，a∥b?a∥α

性质定理

一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行

a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b

2.平面与平面平行

(1)平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫做平行平面.

(2)平面与平面平行的判定定理与性质定理

文字语言

图形表示

符号表示

判定定理

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行

a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β

性质

两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面

α∥β，a?α?a∥β

性质定理

两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b

[常用结论与微点提醒]

1.平行关系中的三个重要结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.

(2)平行于同一平面的两个平面平行.

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行.

2.三种平行关系的转化

(1)平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题过程中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向.

(2)在应用判定定理与性质定理时，一定要写全定理满足的条件，否则可能是假命题.

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.()

(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.()

(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.()

(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()

答案(1)×(2)×(3)×(4)√

解析(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误.

(2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误.

(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误.

2.(必修二P143T1改编)如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()

A.一条直线不相交

B.两条直线不相交

C.无数条直线不相交

D.任意一条直线都不相交

答案D

解析因为直线a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此直线a与平面α内的任意一条直线都不相交.

3.(必修二P138例3改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为____________.

答案平行四边形

解析因为平面ABFE∥平面DCGH，

又平面EFGH∩平面DCGH＝HG，且平面EFGH∩平面ABFE＝EF，

所以EF∥HG，

同理EH∥FG，

所以四边形EFGH是平行四边形.

4.考查下列两个命题：“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件就可以使其构成真命题(其中l，m为直线，α为平面)，则此条件为________.

①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α,l∥m,))?l∥α；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥m,m∥α,))?l∥α.

答案l?α

解析①由线面平行的判定定理知l?α；

②由线面平行的判定定理知l?α.

考点一直线与平面平行的判定与性质

角度1直线与平面平行的判定

例1如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点.

求证：BE∥平面PAD.

证明法一如图，取PD的中点F，连接EF，FA.

由题意知EF为△PDC的中位线，

∴EF∥CD，且EF＝eq\f(1,2)CD＝2.

又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB綉EF，

∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF.

又AF?平面PAD，BE?平面PAD，

∴BE∥平面PAD.

法二如图，延长DA，CB相交于点H，连接PH，

∵AB∥CD，AB＝2，

CD＝4，

∴eq\f(HB,HC)＝eq\f(AB,CD)＝eq\f(1,2)，即B为HC的中点，

又E为PC的中点，∴BE∥