高中数学：第3节　空间点、直线、平面之间的位置关系.docx

第3节空间点、直线、平面之间的位置关系

考试要求1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.

【知识梳理】

1.与平面有关的基本事实及推论

(1)与平面有关的三个基本事实

基本事实

内容

图形

符号

基本事实1

过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面

A，B，C三点不共线?存在唯一的α使A，B，C∈α

基本事实2

如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α

基本事实3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l

(2)基本事实1的三个推论

推论

内容

图形

作用

推论1

经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面

确定平面的依据

推论2

经过两条相交直线，有且只有一个平面

推论3

经过两条平行直线，有且只有一个平面

2.空间点、直线、平面之间的位置关系

直线与直线

直线与平面

平面与平面

平行关系

图形语言

符号语言

a∥b

a∥α

α∥β

相交关系

图形语言

符号语言

a∩b＝A

a∩α＝A

α∩β＝l

独有关系

图形语言

符号语言

a，b是异面直线

a?α

3.基本事实4和等角定理

(1)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

(2)等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

4.异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).

[常用结论与微点提醒]

1.过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.

2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)没有公共点的两条直线是异面直线.()

(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.()

(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.()

(4)若直线a不平行于平面α，且a?α，则α内的所有直线与a异面.()

答案(1)×(2)×(3)×(4)×

解析(1)两条平行直线也没有公共点，故错误.

(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.

(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.

(4)由于a不平行于平面α，且a?α，则a与平面α相交，故平面α内有与a相交的直线，故错误.

2.(必修二P128T2改编)下列命题正确的是()

A.空间任意三个点确定一个平面

B.一个点和一条直线确定一个平面

C.空间两两相交的三条直线确定一个平面

D.空间两两平行的三条直线确定一个或三个平面

答案D

解析A中，空间不共线的三点确定一个平面，A错；

B中，只有点在直线外时才能确定一个平面，B错；

C中，空间两两相交的三条直线确定一个平面或三个平面，C错，故只有选项D正确.

3.(必修二P147例1改编)在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝BC＝1，AA′＝2，则直线BA′与AC所成角的余弦值为________.

答案eq\f(\r(10),10)

解析如图，连接CD′，

易知CD′綉BA′，

则∠ACD′是直线BA′与AC所成的角，

连接AD′，在△ACD′中，

AC＝eq\r(2)，AD′＝CD′＝eq\r(5)，

设AC的中点为O，则D′O⊥AC，

故cos∠ACD′＝eq\f(\f(\r(2),2),\r(5))＝eq\f(\r(10),10).

4.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则

(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；

(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形.

答案(1)AC＝BD

(2)AC＝BD且AC⊥BD

解析(1)要使四边形EFGH为菱形，

应有EF＝EH，

∵EF綉eq\f(1,2)AC，EH綉eq\f(1,2)BD，∴AC＝BD.

(2)要使四边形EFGH为正方形，

应有EF＝EH且EF⊥EH，

∵EF綉eq\f(1,2)AC，EH綉eq\f(1,2)BD，

∴AC＝BD且AC⊥BD.

考点一基本事实的应用

例1已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，