人教版高中总复习一轮数学精品课件 第6章 平面向量、复数 6.4 数系的扩充与复数的引入.ppt

6.4数系的扩充与复数的引入第六章

内容索引0102第一环节必备知识落实第二环节关键能力形成

第一环节必备知识落实

【知识筛查】1.复数的有关概念(1)定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式,其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部.(2)全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.(3)复数相等a+bi与c+di(a,b,c,d∈R)相等当且仅当a=c且b=d.即两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等.特别地,a,b∈R,a+bi=0?a=0,b=0.

2.复数的分类对于复数z=a+bi(a,b∈R),当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,它叫做虚数;当a=0,且b≠0时,它叫做纯虚数.可以通过下图表示:(2)集合表示

3.复数的几何意义(1)复平面点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示.这个建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.

(2)复数的几何意义复数集C中的数与复平面内的点是一一对应的,复数集C中的数与复平面内以原点O为起点的向量也是一一对应的,即提示:互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于x轴对称.

4.复数加、减法的运算法则及加法运算律(1)加、减法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则z1+z2=(a+c)+(b+d)I,z1-z2=(a-c)+(b-d)I.(2)加法运算律对任意z1,z2,z3∈C,有①交换律:z1+z2=z2+z1;②结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

温馨提示1.|z-z0|表示复数z和z0所对应的点的距离,当|z-z0|=r(r0)时,复数z对应的点的轨迹是以z0对应的点为圆心,半径为r的圆.2.z1,z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数,若|z-z1|=|z-z2|,则复数z对应的点在以Z1和Z2为端点的线段的垂直平分线上.

6.复数的乘、除运算(1)复数乘法的运算法则和运算律①复数乘法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.②复数乘法的运算律对任意复数z1,z2,z3∈C,有

(2)复数除法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R,且c+di≠0),温馨提示对复数除法的两点说明(1)实数化:分子、分母同时乘分母的共轭复数,化简后即得结果,这个过程实际上就是把分母实数化,这与根式除法的分母“有理化”很类似.(2)代数式:注意最后结果要将实部、虚部分开.

7.复数的三角表示式(选学)(1)定义:r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式,简称三角形式.其中,r是复数z的模;θ是以x轴的非负半轴为始边,向量所在射线(射线OZ)为终边的角,叫做复数z=a+bi的辐角.为了与三角形式区分开来,a+bi叫做复数的代数表示式,简称代数形式.(2)非零复数z辐角θ的多值性以x轴非负半轴为始边,向量所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角,因此复数z的辐角是θ+2kπ(k∈Z).

(3)辐角的主值①定义及表示:在0≤θ2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值,通常记作argz,即0≤argz2π.②唯一性:复数z的辐角的主值是确定唯一的.特别注意:当z=0时,其辐角是任意的.(4)复数的代数形式与三角形式的互化复数z=a+bi=r(cosθ+isinθ)的两种表示形式之间的关系为

8.复数乘、除运算的三角表示及其几何意义(选学)(1)复数三角形式的乘法①定义:设z1,z2的三角形式分别是z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),则z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和.记忆:模数相乘,辐角相加.

1.在复平面内,z1,z2对应的点为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,(1)四边形OACB为平行四边形;(2)若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;(3)若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;(4)若|z1|=|z2|,且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OAC