模型04 一线三等角模型（解析版）-中考数学解题大招复习讲义.pdf

模型介绍

一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的角

与这两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角”

如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角

类型一：一线三直角模型

如图，若∠1、∠2、∠3都为直角，则有△ACP∽△BPD．

类型二：一线三锐角与一线三钝角模型

如图，若∠1、∠2、∠3都为锐角，则有△ACP∽△BPD．

证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CPA，∠C＝180°－∠1－∠CPA，而∠1＝∠3

∴∠C＝∠DPB，

∵∠1＝∠2，∴△ACP∽△BPD

如图，若∠1、∠2、∠3都为钝角，则有△ACP∽△BPD．（证明同锐角）

☑【解题关键】构造相似或全等三角形.

例题精讲

考点一：一线三等角直角模型

【例1】.如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4cm，则△BCD

2

的面积为8cm．

解：过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，

∵∠ABC＝90°，

∴∠BAC+∠ACB＝90°，

∵∠ACD＝90°，

∴∠HCD+∠ACB＝90°，

∴∠BAC＝∠HCD，

在△ABC和△CHD中，

，

∴△ABC≌△CHD（AAS），

∴DH＝BC＝4，

2

∴△BCD的面积＝×BC×DH＝×4×4＝8（cm），故答案为：8．

变式训练

【变式1-1】．如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7平方厘米

和11平方厘米，则△CDE的面积等于平方厘米．

解：过E作EH⊥CD于H，如图，

∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，

∴∠1＝∠3，

又∵∠EHD＝∠DAG＝90°，ED＝DG，

∴△EDH≌△DGA，

∴EH＝AG，

22

∵SABCD＝7cm，SDGFE＝11cm，

∴CD＝AD＝cm，DG＝，

∴在Rt△ADG中，AG＝，

2

∴S△CDE＝CD×EH＝CD×AG＝××2＝cm，故答案为：．

【变式1-2】．如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶

点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为8．

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝90°，

∵△AEF是等腰直角三角形，

∴AE＝EF，∠AEF＝90°，

∴∠FEC+∠AEB＝90°，

∴∠BAE＝∠FEC，

在△ABE和△ECF中，

，

∴△ABE≌△ECF（AAS），∴AB＝CE，BE＝CF，

∵点F是CD的中点，∴CF＝CD，∴BE＝CF＝AB，

∵BE+CE＝BC＝12，∴AB+AB＝12，∴AB＝8，故答案为：8．

【变式1-3】．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B，

C两点的坐标分别是（）

A．（，3），（﹣，4）B．（，3），（﹣，4）

C．（，），（﹣，4）D．（，），（﹣，4）

解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A

作AF∥x轴，交点为F．

∵四边形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC＝OB，∴∠CAF＝∠BOE．

∵在△ACF和△OBE中，

∴△CAF≌△BOE（AAS），∴BE＝CF＝4﹣1＝3．

∵∠AOD+∠BOE＝∠BOE+∠OBE＝90