模型16 胡不归最值问题（解析版）-中考数学解题大招复习讲义.pdf

模型介绍

【模型总结】

在求形如“PB+kPA”的式子的最值问题中，关键是构造与kPA相等的线段，将“PB+kPA”型问

题转化为“PB+PC”型．

而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPA的等线段．

【问题】

如图，点P为射线l上的一动点，A、B为定点，求PB+kPA的最小值.

【问题解决】

构造射线AD使得sinαk，PC/PAk，CPkAP．

l

D

将问题转化为求PB+PC最小值，过B点作BC⊥AD交l于点P，交AD于C点，此时PB+PC

取到最小值，即PB+kPA最小．

例题精讲

【例1】．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一

个动点，则CD+BD的最小值是4．

解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．

∵BE⊥AC，

∴∠AEB＝90°，

∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，

22

则有：100＝a+4a，

2

∴a＝20，

∴a＝2或﹣2（舍弃），

∴BE＝2a＝4，

∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，

∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））

∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，

∴sin∠DBH＝＝＝，

∴DH＝BD，

∴CD+BD＝CD+DH，

∴CD+DH≥CM，

∴CD+BD≥4，

∴CD+BD的最小值为4．故答案为4．

变式训练

【变式1-1】．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一

结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则AP+CP

的最小值为（）

A．1B．C．D．2

解：过C作CE⊥AB于E，过点P作PF⊥EC于F，

∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，

∴CD＝AB＝AD，

∵∠CAB＝30°，

∴∠B＝60°，

∴△BCD为正三角形，

∴∠DCE＝30°，

∴PF＝CP，

∴AP+CP＝AP+PF≥AE，

∵∠CAB＝30°，AC＝2，

∴CE＝AC＝1，

∴AE＝＝，

∴AP+CP的最小值为．故选：C．

【变式1-2】．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sinA＝，BD⊥AC交AC于点D．点P

为线段BD上的动点，则PC+PB的最小值为．

解：过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CH⊥AB于点H，

∵BD⊥AC，

∴∠ADB＝90°，

∵sinA＝＝，AB＝5，

∴BD＝4，

由勾股定理得AD＝，

∴sin∠ABD＝，

∴EP＝，

∴PC+PB＝PC+PE，

即点C、P、E三点共线时，PC+PB最小，

∴PC+PB的最小值为CH的长，

∵S△ABC＝，

∴4×4＝5×CH，

∴CH＝．

∴PC+PB的最小值为．故答案为：．

【变式1-3】．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D为射

线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是

在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为________.

解：假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，

设D坐标为（0，y），则AD＝2﹣y，CD