湘教版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 数列 1.2.1 第2课时 等差数列的性质.ppt

第1章1.2.1第2课时等差数列的性质

课标要求1.能用等差数列的定义推导等差数列的性质,利用性质解决相关问题;2.掌握利用等差数列的知识解决一些简单的应用问题的方法.

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基础落实·必备知识一遍过

知识点等差数列的性质1.等差数列的项与项数之间的关系两项关系an=am+(n-m)d(n,m∈N+)多项关系若{an}为等差数列,且m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq.特别地,当m+n=2k时,有am+an=2ak推广若等差数列{an}是有穷数列,则与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和,即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…2.从等差数列中,每隔一定的距离抽取一项,组成的数列仍为等差数列.

3.若{an}是公差为d的等差数列,则①{c+an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列;②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列;③{an+an+k}(k为常数,k∈N+)是公差为2d的等差数列.4.若{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pan+qbn}(p,q是常数)是公差为pd1+qd2的等差数列.

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若{an}是各项均为负数的等差数列,则{|an|}也是等差数列.()(2)若{|an|}是等差数列,则{an}也是等差数列.()(3)若一个数列是摆动数列,则该数列不可能是等差数列.()2.若{an}为等差数列,则m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)是am+an=ap+aq成立的充要条件吗?如果不是,是什么条件?√×√提示不是,如{an}是常数列,若am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N+),则m+n=p+q不一定成立.故m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)是am+an=ap+aq成立的充分而不必要条件.

重难探究·能力素养速提升

探究点一等差数列性质的应用【例1】(1)已知等差数列{an},a5=10,a15=25,求a25的值.(2)已知等差数列{an},a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值.(3)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值.分析根据各个题的特征,选择相应等差数列的性质求解.解(1)(方法1)设{an}的公差为d,

(方法2)因为5+25=2×15,所以在等差数列{an}中有a5+a25=2a15,从而a25=2a15-a5=2×25-10=40.(方法3)因为5,15,25成等差数列,所以a5,a15,a25也成等差数列,因此a25-a15=a15-a5,即a25-25=25-10,解得a25=40.(2)由等差数列的性质,得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70,于是a5=14,故a1+a9=2a5=28.(3)令cn=an-bn,因为{an},{bn}都是等差数列,所以{cn}也是等差数列,设其公差为d,由已知,得c1=a1-b1=5,c7=17,则5+6d=17,解得d=2,故a19-b19=c19=5+18×2=41.

规律方法等差数列运算的两种常用思路(1)根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量.(2)利用性质巧解,观察等差数列中项数的特点,若满足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N+),则am+an=ap+aq=2ar.

变式训练1(1)已知数列{an}是等差数列,若a1-a9+a17=8,则a3+a15=()A.8 B.16C.18 D.8(n-1)B解析因为a1-a9+a17=(a1+a17)-a9=2a9-a9=a9=8,所以a3+a15=2a9=2×8=16.

(2)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且数列{an}的公差是d1=5,若a1=15,b1=25,a2+b2=60,那么数列{bn}的公差为.?15解析设等差数列{bn}的公差为d2,则(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2,所以数列{an+bn}仍然是等差数列.又d1+d2=(a2+b2)-(a1+b1)=60-(15+25)=20,结合d1=5可知d2=15.

探究点二等差数列中项的设法【例2】已知四个数成等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数.分析由于已知条件中涉及四个数成等差数列,因此可以设出数列的公差与首项,列方程组求解,也可以利用对称思想设出四个数,结合已知条件求解.解(方法1)设此等差数列的首项为a1,公差