模型47 勾股定理之大树折断、风吹荷花模型（解析版）-中考数学解题大招复习讲义.pdf

考点一：勾股定理之大树折断模型

【例1】．如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端

A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．

解：由题意知BC+AC＝8，∠CBA＝90°，

∴设BC长为x米，则AC长为（8﹣x）米，

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∴在Rt△CBA中，有BC+AB＝AC，

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即：x+16＝（8﹣x），

解得x＝3，

∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米．

变式训练

【变式1-1】．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大

树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的

房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给

出正确的回答（）

A．一定不会B．可能会

C．一定会D．以上答案都不对

解：如图

由题意画出大树倒下的示意图，大树从点B刮断，绕点B倒下，树梢的轨迹为，

根据题意得，AB＝6，BC＝10，AF＝9，

过点F作AB的平行线交于D，E（D在E上面），

∴BE＝BC＝10，∠F＝90°，

过点B作BG⊥DF于G，

∴∠BGF＝90°，

∵∠A＝90°，

∴∠A＝∠F＝∠BGF＝90°，

∴四边形ABGF是矩形，

∴FG＝AB＝6，BG＝AG＝9，

在Rt△BGF中，根据勾股定理得，EG＝＝＝，

∴EF＝FG﹣EG＝6﹣≈6﹣4.36＝1.64米，

而房屋一般高度为2.8到3米，

∴1.64＜2.8，

即：大树倒下时肯定能砸到张大爷的房屋，

故选：C．

【变式1-2】．由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰

好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离为12米，

求这棵树原来的高度．

解：如图所示：延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D，

由题意可得：BC＝13m，DC＝12m，

故BD＝＝5（m），

即AD＝9m，

则AC＝＝＝15（m），

故AC+AB＝15+4＝19（m）．

答：这棵树原来的高度是19米．

考点二：勾股定理之风吹荷花模型

【例2】．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若

这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（）

A．3cmB．5cmC．6cmD．8cm

解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，

在Rt△ABC中：AC＝＝＝15（cm），

所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）．

则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm～6cm之间．

观察选项，只有选项D符合题意．

故选：D．

变式训练

【变式2-1】．如图，一架梯子AB长10米，底端离墙的距离BC为6米，当梯子下滑到DE

时，AD＝2米，则BE＝2米．

解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，可得：AC＝＝＝8（米），

∴DC＝AC﹣AD＝8﹣2＝6（米），

在Rt△DCE中，CE＝＝＝8（米），

∴BE＝CE﹣BC＝8﹣6＝2（米），故答案为：2．

【变式2-2】．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前

推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始

终拉得很直，求绳索AD的长度