人教版八年级数学下册专题2二次根式化简求值技巧（解析版）.docxVIP

专题2二次根式化简求值技巧（解析版）

典例精析+变式训练

类型一利用二次根式的性质=|a|化简

典例1（2022春?郯城县期末）化简二次根式-x

A．-x B．x C．-x D

思路引领：根据二次根式有意义的条件以及二次根式的性质与化简进行计算即可．

解：由题意可知，x＜0，

原式＝﹣x?-x

因此选项A是正确的，

应选：A．

总结提升：本题考查二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件以及化简方法是得出正确答案的前提．

变式训练

1．已知a=13+2

思路引领：先将a的值分母有理化，判断出a﹣1的符号，继而根据二次根式的性质求解可得．

解：∵a=13+2

∴a﹣1＝2-3-1＝1-

∴原式=

＝|a﹣1|

＝﹣（a﹣1）

=3-

总结提升：本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．

2．（1）当a＜0时，化简a2

（2）实数a，b在数轴上表示如图所示，化简：(a

思路引领：（1）直接利用a的取值范围结合二次根式的性质化简得出答案；

（2）直接利用a，b的取值范围结合二次根式的性质化简得出答案．

解：（1）当a＜0时，a2

（2）由数轴可得：1＜a＜2，﹣3＜b＜﹣2，

则：(

＝a+2﹣（2﹣b）﹣（a+b）

＝0．

总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．

类型二含有隐含条件的化简求值

典例2（2019春?黄石期中）已知x、y为实数，xy＝3，那么xyx+y

A．23 B．﹣23 C．±23 D．±3

思路引领：根据二次根式有意义条件分析出x与y是同号，然后化简（xyx+yxy）

解：根据二次根式有意义的条件可得x与y是同号，

所以（xyx+yxy）2=x2?

∵xy＝3，

所以4xy＝12，即（xyx+yx

∵x与y是同号，

所以原式＝±23．

故选：C．

总结提升：本题主要考查了二次根式的化简求值，解决这类问题一定要注意二次根式有意义的条件，在此条件下解答不会漏解．

变式训练

1．（2021春?阳新县月考）已知x+y＝﹣6，xy＝8，求代数式yyx+x

思路引领：根据加法法则、乘法法则和已知条件得出x、y同号，并且都是负数，化简所求式子，代值即可．

解：∵x+y＝﹣6，xy＝8，

∴x、y同号，并且都是负数，

∴yyx+

=-y

＝﹣（yx+

=-(

=-(-6

＝﹣52．

总结提升：本题考查了解二元二次方程组和二次根式的混合运算与求值等知识点，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．

2．（2021春?虎林市校级期末）昨天的数学作业：化简求值．当a＝3时，求a+

小红的答案是5．小明却认为：

原式=a+(1-a)2=

你认为小明说得对么？为什么？

思路引领：根据题意得到1﹣a＜0，根据二次根式性质化简，判断即可．

解：小明的解答是错误的，

理由如下：∵a＝3，

∴1﹣a＝﹣2＜0，

∴原式＝a+a﹣1＝2a﹣1，

当a＝3时，原式＝2×3﹣1＝5，

∴小明的解答是错误的．

总结提升：本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质：a2=|a

类型三利用整体思想进行求值

典例3已知x＝5﹣26，y＝5+26，求3x2+5xy+3y2的值．

思路引领：先计算出x+y与xy的值，再利用完全平方公式得到3x2+5xy+3y2＝3（x+y）2﹣xy，然后利用整体代入的方法计算．

解：∵x＝5﹣26，y＝5+26，

∴x+y＝10，xy＝25﹣24＝1，

∴3x2+5xy+3y2＝3（x+y）2﹣xy＝3×102﹣1＝299．

总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．使用整体代入的方法可简化计算．

变式训练

1．（2020秋?武侯区校级月考）已知x=7-

（1）x2﹣xy+y2；

（2）yx

思路引领：先根据完全平方公式、平方差公式和二次根式的乘除和加减运算得出x2+y2和xy的值，

（1）直接代入即可求得；

（2）利用异分母分式加减法相加后直接代入即可．

解：∵x=7-

∴xy=7-

又∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy，

∴x2

（1）x2﹣xy+y2

＝x2+y2﹣xy

=4-3

=5

（2）y

=y

=4

=8

=14

总结提升：本题考查完全平方公式，平方差公式，二次根式的加、减、乘运算，分式的加法．能结合二次根式的性质和乘法公式求得x2+y2和xy的值是解题关键．

2．（1）已知：x=12+3，y=12-3．求2x2

（2）已知x=5+12

思路引领：（1）分母有理化后，代入求解即可；

（2）由x=5+12，推出2x=5+1，可得2x﹣1=5，推出4x2﹣4x＝4，即x2﹣x＝1，

解：（1）x=12+3=2-3，

所以原式＝2（2-3）2+2（