人教版八年级数学下册专题4二次根式的运算与应用（原卷版）.docxVIP

专题4二次根式的运算与应用（原卷版）

典例精析+变式训练

类型一二次根式的计算

典例1（2022秋?渠县校级期末）化简：

（1）(2-6)×18-3

变式训练

1．（2022秋?长安区期中）下列计算正确的是（）

A．23+32=55 B．23×32

C．55-23=32 D．30÷（

2．（2022秋?市北区校级期末）计算式子（3-2）2021（3+2）

A．﹣1 B．3-2 C．2-3 D

类型二与二次根式有关的化简求值

例2（2022秋?商水县校级月考）问题：先化简，再求值：2a+a2-10a

小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下．

小宇的解答过程如下：

解：2a+

＝2a+(

＝2a+a﹣5……（第二步）

＝3a﹣5．……（第三步）

当a＝3时，

原式＝3×3﹣5＝4．……（第四步）

小颖为验证小宇的做法是否正确，她将a＝3直接代入原式中：

2a+a2-10a+25＝6

由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步？并给出完整正确的解答过程．

变式训练

1．（2022春?藁城区校级月考）先化简，再求值：2-(a-

2．（2022秋?静安区校级期中）先化简，再求值，如果a＝2-3，b=12-

典例3（2022秋?青浦区校级期中）先化简再求值：x-2xy+yx-

变式训练

1．（2022秋?虹口区校级月考）先化简，再求值：4a-b+a+bba

典例4（2022春?邹城市校级月考）先化简，再求值：

（1）2（a+3）（a-3）﹣a（a﹣6）+6，a=

（2）已知a＝2+3，b＝2-3，求

变式训练

1．已知x=2-3，求代数式

类型三与二次根式有关的规律探究

典例5（2022秋?新蔡县校级月考）发现①计算（2）2＝，（23）2＝

②计算：22=；(-

总结通过①②的计算，分别探索（a）2（a≥0）与a、a2与a

应用利用你总结的规律，结合图示计算4(m+2)2+

变式训练

1．（2022秋?忻州月考）综合与实践

小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整：

（1）具体运算，发现规律．

等式1：1+13=213．等式2：2+14=314．等式

（2）观察、归纳，得出猜想．

n为正整数，猜想等式n可表示为，并证明你的猜想．

（3）应用运算规律．

①化简：99+1

②小丽写出一个等式m2-2m+1+1n=101n（n

典例6（2022秋?浦东新区期中）观察下列运算：

（1）由(2+1)(2-1)=1，得12+1

……问题：（1）通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来；

（2）利用（1）中发现的规律计算：

(1

变式训练

1．（2022秋?南山区校级期中）著名数学教育家G?波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：

数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．

例如：3+22=1+2×1×

解决问题：

（1）在括号内填上适当的数：14+65

①：，②：，③．

（2）根据上述思路，化简并求出28-103

类型四二次根式的应用

典例1（2022秋?新蔡县校级月考）如图，有一张面积为50cm2的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为2cm．

（1）求长方体盒子的容积；（2）求这个长方体盒子的侧面积．

变式训练

1．（2022秋?洛宁县月考）如图，有一张长为162cm，宽为82cm的长方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形．

（1）若小正方形的边长为2cm，则制作成的无盖长方体盒子的体积是多少？

（2）求这个长方体盒子的侧面积．

典例2（2022春?锦江区校级期中）阅读材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现；当a＞0，b＞0时，有(a-b)2=a﹣2ab+b≥0，∴a+b≥

（1）当x＞0时，x+1x的最小值为；当x＜0时，x+1x的最大值为

（2）当x＞0时，求y=x

（3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为12和27，求四边形ABCD面积的最小值．

针对训练

1．（2021秋?武陵区校级期末）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：

当a＞0，b＞0时，∵(a-b)2=a

请利用上述结论解决以下问题：