人教版八年级数学下册专题7勾股定理与面积问题（解析版）.docxVIP

专题7勾股定理与面积问题（解析版）

第一部分典例剖析

类型一利用面积求高

1．（2019秋?兰考县期末）一个直角三角形两条直角边的长分别为5，12，则其斜边上的高为（）

A．6013 B．13 C．6 D．

思路引领：利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法求出斜边上的高即可．

解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，

∴斜边为52+1

∵S△ABC=12×5×12=12

∴h=60

故选：A．

总结提升：此题考查了勾股定理，以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

2．（2022秋?南岗区校级月考）如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，则线段AB的长为5．

（1）过点A画出线段BC的垂线段，垂足为点D；

（2）过点C画出线段AB的垂线，垂足为点E；

（3）直接写出点C到直线AB的距离为．

思路引领：（1）（2）根据三角形的高的定义作出图形即可；

（3）利用勾股定理，面积法求解即可．

解：（1）如图，线段AD即为所求；

（2）如图，线段CE即为所求；

（3）∵AB=32+42=5，BC＝16，AD⊥

∴12?BC?AD=12?AB

∴CE=64

故答案为：645

总结提升：本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会利用面积法解决问题．

利用乘法公式求面积或长度

3．（2021秋?新会区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC+BC＝14cm，AB＝10cm，则Rt△ABC的面积是cm2．

思路引领：根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2＝100，根据完全平方公式求出2AC?BC＝96，得到12AC?BC＝24

解：∵∠C＝90°，

∴AC2+BC2＝AB2＝100，

∵AC+BC＝14，

∴（AC+BC）2＝196，

即AC2+BC2+2AC?BC＝196，

∴2AC?BC＝96，

∴12AC?BC＝24，即Rt△ABC的面积是24cm2

故答案为：24．

总结提升：本题考查的是勾股定的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．

4．（2011秋?涟源市校级期末）直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，则面积为（）

A．12cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．10cm2

思路引领：本题可从直角三角形的周长公式和面积公式，勾股定理三个方面列出方程，求出两直角边的乘积即可．

解：设：一直角边长为x，另一直角边为y，

则由题意可得：x+y＝7，

由勾股定理可得x2+y2＝25，

对x+y＝7两边进行平方可得：（x+y）2＝49，

两式联立可得xy＝12，

则面积为12xy＝6

故选：B．

总结提升：本题考查直角三角形周长，面积公式及勾股定理的综合运用，看清条件即可．

5．若一个直角三角形的周长为30cm，面积为30cm2，则这个直角三角形的斜边长为．

思路引领：设直角三角形三边分别为a，b，c，根据题意表示出周长与面积，利用勾股定理列出关系式，求出c的值即可．

解：根据题意得：a+b+c＝30①，12ab＝30②，且a2+b2＝c2③

由①得：a+b＝30﹣c，

由③变形得：（a+b）2﹣2ab＝（30﹣c）2﹣120＝c2，

解得：c＝13，

故答案为：13．

总结提升：此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

6．（2022秋?卧龙区校级期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝30，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为．

思路引领：根据题意和勾股定理，可以求得ab的值，再根据图形可知：小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，然后代入数据计算即可．

解：设大正方形的边长为c，

则c2＝16＝a2+b2，

∵（a+b）2＝30，

∴a2+2ab+b2＝30，

解得ab＝7，

∴小正方形的面积是：16-12ab×4＝16-12×7×4＝16

故答案为：2．

总结提升：本题考查勾股定理的证明、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，求出ab的值．

7．（2022秋?城关区校级期中）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．

（1）结合图①，求证：a2+b2＝c2；

（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为48，OH＝6．求该图形的面积．

思路引领：（1）用两种方法分别表示中间小正