人教版八年级数学下册专题11勾股定理与构造图形解决问题（原卷版）.docxVIP

专题11勾股定理与构造图形解决问题

【例题讲解】

在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题：

（1）如图1，点是正方形内一点，，，，你能求出的度数吗？

小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：将绕点逆时针旋转，得到，连接，可求出的度数；

思路二：将绕点顺时针旋转，得到，连接，可求出的度数；

请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程；

（2）如图2，若点是等边三角形内一点，若，则线段，，满足怎样的等量关系？请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段，，满足的等量关系．

解：（1）思路一：如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△，连接，

则

∴，

根据勾股定理得，，

∵AP=1，∴，

∴是直角三角形，且，

∴．

思路二：将△PAB绕点B顺时针旋转90°，得到，连接，

∴

∴,

∵∴∴，

∴

∴；

（2），理由如下：

如图，由等边可得：

把绕点顺时针旋转得到

则

为等边三角形，

【综合解答】

1．如图，点是等边三角形内一点，且，，，则（?????）

A． B． C． D．

2．如图，，，，点、为边上的两点，且，连接、，则下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④，其中正确的有（?????）

A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④

3．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转60°得到线段，连接．若，，，则四边形的面积为___________．

4．【问题背景】

学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边，D是外一点，连接、、，若，，，求的长．

该小组在研究如图2中中得到启示，于是作出如图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程．

解：如图3所示，以为边作等边，连接．

∵，是等边三角形，

∴，，．

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴．

∵，

∴．

【尝试应用】

如图4，在中，，，，以为直角边，A为直角顶点作等腰直角，求的长．

【拓展创新】

如图5，在中，，，以为边向往外作等腰，，，连接，求的最大值．

5．如图，四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．

【操作】（1）将△ABD绕点D沿顺时针方向旋转60°，在图中画出旋转后的三角形．

【探究】（2）结合所画图形探究BD与AB，BC之间的数量关系，并证明你的结论．

【应用】（3）若AB=6，BC=8，试求四边形ABCD的面积．

6．综合与实践

旋转是初中学习的一种全等变换，通过旋转可以将已知条件中“分散”的条件相对地“集中”在一起，构成新的联系，从而解决问题．同时，旋转时图形中出现“有公共端点的线段相等”的条件，所以在等腰（或等边）三角形、正方形中常进行旋转变换．

(1)正方形中的“旋转：如图①，点E、点F分别是正方形的边DC、BC上的点，连接AF、FE、AE，若，则BF、DE、EF之间的数量关系为______．

问题解决：将绕点A顺时针旋转90°，得到，则点G、点B、点F三点______，可证明______，从而得出结论．请你完成上述全等关系的证明．

(2)如图②，P为正方形ABCD内一点，且，，，请你确定的度数：＝______．

小杰同学的思路是：设法将PA、PB、PC相对集中，于是将绕点B顺时针旋转90°得到，连接PE，确定与的形状分别为：______，问题得以解决．

(3)等边三角形中的“旋转”：请你参考小杰同学的思路，解决下面问题：

如图③，P点是等边三角形ABC内一点，若，，请你直接写出：以线段PA、PB、PC的长度为边长的三角形的各内角的度数分别为______．

7．（1）阅读理解

利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P是等边三角形ABC内一点，PA＝1，，PC＝2．求∠BPC的度数．

为利用已知条件，不妨把△BPC绕点C顺时针旋转60°得，连接．利用这种变换可以求∠BPC的度数，请写出推理过程；

（2）类比迁移

如图2，点P是等腰Rt△ABC内一点，∠ACB＝90°，PA＝2，，PC＝1．求∠APC的度数．

8．在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题：

（1）如图1，点是正方形内一点，，，，你能求出的度数吗？

小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：将绕点逆时针旋转，得到，连接，可求出的度数；

思路二：将绕点顺时针旋转，得到，连接，可求出的度数；

请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程；

（2）如图2，若点是等边三角形内一点，若，则线段，，满足怎样的等量关系？请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段，，满足的等量关系．

9．如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC