人教版八年级数学下册专题14特殊平行四边形中的折叠问题（解析版）.docxVIP

专题14特殊平行四边形中的折叠问题（解析版）

第一部分典例剖析

类型一折叠中求角度

1．（2022春?花都区期中）如图，对折矩形ABCD的纸片，使AB与DC重合，得到折痕EF，然后把△ADH再对折到△DHG，使得点A落在EF上且与点G重合，则∠HDG为（）

A．30° B．35° C．40° D．45°

思路引领：由折叠的性质可得DG＝AD＝AG，可得△ADG是等边三角形，即可求∠ADG＝60°，即可求解．

解：如图，连接AG，

∵对折矩形ABCD的纸片，使AB与DC重合，

∴AE＝DE，EF⊥AD

∴DG＝AG，

∵把△ADH再对折到△DHG

∴AD＝DG，∠ADH＝∠GDH

∴AD＝DG＝AG，

∴△ADG是等边三角形

∴∠ADG＝60°

∴∠HDG＝30°

故选：A．

总结提升：本题考查了翻折变换，矩形的性质，证明△ADG是等边三角形是本题的关键．

2．（2022春?石家庄期末）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC＝120°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则∠AEB′为（）

A．70° B．65° C．30° D．60°

思路引领：依据正方形的性质以及折叠的性质，即可得到∠AEB＝60°．

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，∠A＝90°，

∴∠BEF+∠EFC＝180°，

∵∠EFC＝120°，

∴∠BEF＝180°﹣∠EFC＝60°，

∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，

∴∠BEF＝∠FEB＝60°，

∴∠AEB＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB＝60°，

故选：D．

总结提升：本题考查了正方形的性质，折叠的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．

类型二折叠中求线段的长

3．（2019春?泰山区期中）对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B′M＝1.5，则CN的长为（）

A．3.5 B．4.5 C．5.5 D．6.5

思路引领：连接AC、BD，利用菱形的性质得OC=12AC＝3，OD=12BD＝4，∠COD＝90°，再利用勾股定理计算出CD＝5，由ASA证得△OBM≌△ODN得到DN＝BM，然后根据折叠的性质得BM＝BM＝1.5，则

解：连接AC、BD，如图，

∵点O为菱形ABCD的对角线的交点，

∴OC=12AC＝3，OB＝OD=12BD＝4，∠

在Rt△COD中，CD=OC

∵AB∥CD，

∴∠MBO＝∠NDO，

在△OBM和△ODN中，

∠MBO

∴△OBM≌△ODN（ASA），

∴DN＝BM，

∵过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕，

∴BM＝BM＝1.5，

∴DN＝1.5，

∴CN＝CD﹣DN＝5﹣1.5＝3.5，

故选：A．

总结提升：本题考查了折叠的性质、菱形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠与菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

4．（2020?市北区一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA向内翻折，点B落在DE上，记为B，则AB的长为（）

A．3 B．1 C．2 D．2

思路引领：利用矩形的性质，证明∠ADE＝∠ADE＝∠ADC＝30°，∠C＝∠ABD＝90°，推出△DBA≌△DCA，CD＝BD，设AB＝DC＝x，在Rt△ADE中，通过勾股定理可求出AB的长度．

解：∵四边形ABCD为矩形，

∴∠ADC＝∠C＝∠B＝90°，AB＝DC，

由翻折知，△AED≌△AED，△ABE≌△ABE，∠ABE＝∠B＝∠ABD＝90°，

∴∠AED＝∠AED，∠AEB＝∠AEB，BE＝BE，

∴∠AED＝∠AED＝∠AEB=13×180

∴∠ADE＝90°﹣∠AED＝30°，∠ADE＝90°﹣∠AEB＝30°，

∴∠ADE＝∠ADE＝∠ADC＝30°，

又∵∠C＝∠ABD＝90°，DA＝DA，

∴△DBA≌△DCA（AAS），

∴DC＝DB，

在Rt△AED中，

∠ADE＝30°，AD＝2，

∴AE=2

设AB＝DC＝x，则BE＝BE＝x-2

∵AE2+AD2＝DE2，

∴（233）2+22＝（x+x-2

解得，x1=-33（负值舍去），x2

故选：A．

总结提升：本题考查了矩形的性质，轴对称的性质等，解题关键是通过轴对称的性质证明∠AED＝∠AED＝∠AEB＝60°．

类型三折叠中求面积

5．（2021?牡丹江）如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1．将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（）

A．210 B．25 C．6 D．5