人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 第12章 概率 第5节 离散型随机变量的均值与方差.pptVIP

第五节离散型随机变量的均值与方差第十二章

内容索引0102强基础增分策略增素能精准突破

课标解读衍生考点核心素养1.理解离散型随机变量分布列的数字特征(均值、方差).2.了解超几何分布的均值,并能解决简单的实际问题.3.掌握二项分布的数字特征,并能解决简单的实际问题.1.离散型随机变量的均值与方差2.二项分布的均值与方差3.均值与方差在决策中的应用1.直观想象2.数据分析3.数学运算4.数学建模

强基础增分策略

1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n.(1)均值:称E(X)=为随机变量X的均值或数学期望.?反映了离散型随机变量取值的平均水平x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn标准差

微点拨1.均值(数学期望)是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均.2.E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定,即X作为随机变量是可变的,可取不同值,而E(X)是不变的,它描述X取值的平均状态.3.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度,D(X)越大,表明平均偏离程度越大,X的取值越分散.反之,D(X)越小,X的取值越集中在E(X)附近.4.方差也是一个常数,它不具有随机性,方差的值一定是非负数.

2.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=;?(2)D(aX+b)=.?3.两点分布与二项分布的均值与方差(1)若X服从两点分布,则E(X)=,D(X)=.?(2)若X~B(n,p),则E(X)=,D(X)=.?4.正态分布的均值与方差若X~N(μ,σ2),则X的均值与方差分别为E(X)=,D(X)=σ2.?微点拨已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解.若所给随机变量服从两点分布或二项分布等,则直接利用它们的均值、方差公式更简便.aE(X)+ba2D(X)pp(1-p)npnp(1-p)μ

常用结论1.若X1,X2相互独立,则E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).2.均值与方差的关系:D(X)=E(X2)-E2(X).3.E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数.4.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).

增素能精准突破

考点一离散型随机变量的均值与方差典例突破例1.(2021广东珠海二模)现有甲、乙两个项目,对甲、乙两个项目分别投资20万元,甲项目一年后利润是1万元、2万元、4万元的概率分别是;乙项目的利润随乙项目的价格变化而变化,乙项目在一年内,价格最多可进行两次调整,每次调整的概率为p(0p1),设乙项目一年内价格调整次数为X,X取0,1,2时,一年后利润分别是3万元、2万元、1万元.设Y1,Y2分别表示对甲、乙两个项目各投资20万元一年后的利润.(1)写出Y1,Y2的概率分布列和数学期望;(2)当E(Y1)E(Y2)时,求p的取值范围.

解:(1)Y1的概率分布列如下.Y2的概率分布列如下.Y2321P(1-p)22p(1-p)p2

反思感悟1.求随机变量的期望和方差的基本方法:(1)已知随机变量的分布列,直接利用期望和方差公式直接求解;(2)已知随机变量X的期望、方差,求aX+b(a,b∈R)的期望与方差,利用期望和方差的性质(E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X))进行计算;(3)若能分析出所给的随机变量服从常用的分布(如:两点分布、二项分布等),可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.2.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤:(1)理解X的意义,写出X的全部可能取值;(2)求X取每个值的概率;(3)写出X的分布列;(4)由均值的定义求E(X);(5)由方差的定义求D(X).

对点训练1某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[13,14),第二组[14,15),……,第五组[17,18],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图,估计这50名学生百米测试成绩的中位数和平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表,结果精确到0.1).(2)若从第一、五组中随机取出3名学生成绩,设取自第一组的人数为ξ,求ξ的分布列、数学期望及方差.

解:(1)由频率分布直方图知,百米测试成绩的平均值为

(2)第一组人数为0.06×1×50=3,第五组人数为0.08×1×50=4,故第一组和第五组总共取7名学生成绩.ξ的可能取值为0,1,2,3.

考点二二项分布的均值与方差典例突破例2.(2021湖北5月