专题1.3 正方形中的综合（压轴题专项讲练）（北师大版）（解析版）.pdf

专题1.3正方形中的综合

【典例1】四边形ABCD是矩形，四边形AEFG是正方形，AD＞AE，点E在线段AD的左侧，连接DE，

BG．

（1）如图1，若点F在边AD上时，AD＝3，AE=2，求DE的长．

（2）如图2，连接BF，若∠ADE＝∠ABG，BF＝BC，求证：三点B，G，E在同一直线上．

【思路点拨】

（1）作EH⊥AD于点H，由四边形AEFG是正方形得AE＝FE=2，根据勾股定理求出AF的长为2，则

1

AH＝EH=AF＝1，而AD＝3，所DH＝2，再根据勾股定理求出DE的长即可；

2

（2）先证明△DAE≌△BAG，得AD＝AB，可证明四边形AEFG是正方形，则BF＝BA＝BC，可知点B在线

段AF的垂直平分线上，而GA＝GF，EA＝EF，则点G、点E都在线段AF的垂直平分线上，由此可得三点

B，G，E在同一直线上．

【解题过程】

（1）解：如图1，作EH⊥AD于点H，

∵四边形AEFG是正方形，点F在边AD上，

∴AE＝FE=2，∠AEF＝90°，

2

∴AF=2+2=(2)2+(2)=2，

1

∴AH＝FH=AF＝1，

2

1

∴EH=AF＝1，

2

∵AD＝3，

∴DH＝AD﹣AH＝2，

∵∠DHE＝90°，

∴DE=2+2=22+12=5，

∴DE的长是5.

（2）证明：如图2，连接AF，

∵四边形ABCD是矩形，四边形AEFG是正方形，

∴AE＝AG，∠EAG＝∠DAB＝90°，

∴∠DAE＝∠BAG＝90°﹣∠DAG，

在△DAE和△BAG中，

∠=∠

∠=∠，

=

∴△DAE≌△BAG（AAS），

∴AD＝AB，

∴四边形AEFG是正方形，

∴BA＝BC，

∵BF＝BC，

∴BA＝BF，

∴点B在线段AF的垂直平分线上，

∵GA＝GF，EA＝EF，

∴点G、点E都在线段AF的垂直平分线上，

∴三点B，G，E在同一直线上．

1．（2022•凯里市校级一模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且

∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（）

3

A．2B．2C．3D．22

2

【思路点拨】

把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，首先证明△AFE≌△AGE，进而得到EF＝

FG，问题即可解决．

【解题过程】

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，

∴把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图：

∴∠BAF＝∠DAG，

∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，

∴∠BAF+∠DAE＝45°，

∴∠EAF＝∠EAG，

∵∠ADG＝∠ADC＝∠B＝90°，

∴∠EDG＝180°，点E、D、G共线，

在△AFE和△AGE中，

=

∠=∠，

=

∴△AFE≌△AGE（SAS），

∴EF＝EG，

即：EF＝EG＝ED+DG，

∵E为CD的中点，边长为6的正方形ABCD，

∴CD＝BC＝6，DE＝CE＝3，∠C＝90°，

∴设BF＝x，