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垂径定理第二十八章圆课件
情景导入问题赵州桥的半径是多少?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?
获取新知知识点一:垂径定理问题1如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E.沿着CD所在的直线折叠,你能发现图中有哪些相等的线段和弧?为什么?
·OABCDE线段:AE=BE弧:AD=BD,AC=BC⌒⌒⌒⌒理由如下:把圆沿着直径CD折叠时,根据前面的说理,点A与点B重合,AE与BE重合,AD和BD,AC与BC重合.⌒⌒⌒⌒
·OABCED证明:如图所示,连接OA,OB.在△OAB中,∵OA=OB,OE⊥AB,∴AE=BE,∠AOE=∠BOE.∵∠AOC=180°-∠AOE,∠BOC=180°-∠BOE,∴∠AOC=∠BOC.如图所示,在☉O中,CD为直径,AB为弦,且CD⊥AB,垂足为E.求证:AE=BE,AD=BD,AC=BC⌒⌒⌒⌒∴AD=BD.⌒⌒∴AC=BC.⌒⌒
垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.几何语言:∵CD是直径,CD⊥AB,∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE
例题讲解例1已知:如图,CD为⊙O的直径,AB为弦,且AB⊥CD,垂足为E.若ED=2,AB=8,求直径CD的长.?解:如图,连接OA.设⊙O的半径为r.∴CD为⊙O的直径,AB⊥CD,∴AE=BE.∴AB=8,∴AE=BE=4,在Rt△OAE中,OA2=OE2+AE2,OE=OD-ED,即r2=(r-2)2+42.解得r=5,从而2r=10.所以直径CD的长为10.
获取新知知识点二:垂径定理的推论如图所示,在☉O中,直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.【思考】(1)若AE=BE,能判断CD与AB垂直吗?AD与BD(或AC与BC)相等吗?说明你的理由.⌒⌒⌒⌒(2)若AD=BD(或AC=BC),能判断CD与AB垂直吗?AE与BE相等吗?说明你的理由.⌒⌒⌒⌒
解:(1)CD⊥AB,AC=BC(或AD=BD).理由是:连接OA,OB,如图所示,则△OAB是等腰三角形,∵AE=BE,∴CD⊥AB.⌒⌒⌒⌒由垂径定理可得AC=BC,AD=BD.⌒⌒⌒⌒(2)CD⊥AB,AE=BE.又∵OA=OB,∴AE=BE,CD⊥AB.理由是:∵AD=BD,∴∠AOD=∠BOD,⌒⌒
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.垂径定理推论1几何语言:·OABCDE你还有其他的结论吗?你发现了什么?∵CD是直径,AE=BE,∴CD⊥AB,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.
平分弦(不是直径)的所对的两对弧,则垂直平分这条弦.垂径定理推论2·OABCDE几何语言:∴CD⊥AB,AE=BE,∵CD是直径,AC=BC,⌒⌒
垂径定理的本质是:知二得三(1)一条直线过圆心(2)这条直线垂直于弦(3)这条直线平分不是直径的弦(4)这条直线平分不是直径的弦所对的优弧(5)这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧
例题讲解例2解决求赵州桥拱半径的问题:如图,用弧AB表示主桥拱,设弧AB所在圆的圆心为O,半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与弧AB相交于点C.根据前面的结论可知,D是弦AB的中点,C是弧AB的中点,CD就是拱高.它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m
解得R≈27.9.ODABCR在Rt△OAD中,由勾股定理,得即R2=18.72+(R-7.2)2因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2OD=OC-CD=R-7.2AB=37.4m,CD=7.2m,在图中
随堂演练1.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不成立的是()A.CM=DM B.CB=DBC.∠ACD=∠ADC D.OM=MB⌒⌒D
2.如图,AB是⊙O的弦,AB的长为8,P是⊙O上一个动点(不与点A,B重合),过点O作OC⊥AP于点C,OD⊥PB于点D,则CD的长为___4
3.已知:⊙O中弦AB∥CD,求证:AC=BD.⌒⌒证明:作直径MN⊥AB.∵AB∥CD,∴MN⊥CD.则AM=BM,CM=DM(垂直平分弦的直径平分弦所对的弧)AM-CM=BM-DM∴AC=BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON
4.如图,AB,CD是⊙O的弦,M,N分别为AB,CD的中点,且∠AMN=∠
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