2014年南开大学自主招生选拔考试文科数学试题.pdf

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2014年南开大学自主招生选拔考试文科数学试题

一、填空题

1.已知,则的值为__________.

【答案】

【解析】由得

所以,

所以.

2.已知点A(1,0),点B为圆上的任意一点,设AB的中垂线与OB的交点

为C,则点C的轨迹方程为__________.

【答案】

3.已知可行域若直线将可行域所表示的图形的面积平分,则的值为

__________.

【答案】

4.用24个点将一个圆24等分,任意选择其中的三点,则可以组成

_______个不同的直角三角形.

【答案】264

【解析】(个).

5.已知函数的最小值是1,则的值为__________.

【答案】

【解析】

根据题意得,解得.

6.

【答案】

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【解析】由

令,得

令,得

以上两式相加得.

7.已知圆上A、B、C、D四点依次排列,AB=BC=3,CD=4,DA=8,则

该圆的半径为________.

【答案】

【解析】连接,设,利用余弦定理得,由此解得再利用正弦定理解得

圆的半径为.

8.若对任意恒成立,则的取值范围是______________.

【答案】

二、解答题

9.已知四棱锥,

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,点为的中点.

(1)求证:;

(2)在平面上找一点,使得平面;

(3)求直线与平面所成角的正弦.

解:(1)取的中点,连接.

因为点为的中点,点为的中点,所以.

因为,所以,所以,

所以四边形是平行四边形,所以,所以.

(2)取的中点,连接,交于点.

设.

因为所以.又因为所以

所以所以平行四边形是矩形.

在等腰直角三角形中,点为的中点,

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所以,又,

所以,又,所以,

所以,又因为,所以,

所以,即.

因为,所以,所以,

所以.

(3)直线与平面所成角即与平面所成角,

连接,由,知

易求得,所以.

10.已知数列,

求证:(1);(2).

证明:(1)由,得.

易证,所以,即数列单调递增,

所以.

(2)利用不等式进行证明:

①当显然成立;

②当,,

……

将以上各式相乘得

.

综上得原不等式成立.

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