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2014年南开大学自主招生选拔考试文科数学试题
一、填空题
1.已知,则的值为__________.
【答案】
【解析】由得
所以,
所以.
2.已知点A(1,0),点B为圆上的任意一点,设AB的中垂线与OB的交点
为C,则点C的轨迹方程为__________.
【答案】
3.已知可行域若直线将可行域所表示的图形的面积平分,则的值为
__________.
【答案】
4.用24个点将一个圆24等分,任意选择其中的三点,则可以组成
_______个不同的直角三角形.
【答案】264
【解析】(个).
5.已知函数的最小值是1,则的值为__________.
【答案】
【解析】
,
根据题意得,解得.
6.
【答案】
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【解析】由
,
令,得
,
令,得
,
以上两式相加得.
7.已知圆上A、B、C、D四点依次排列,AB=BC=3,CD=4,DA=8,则
该圆的半径为________.
【答案】
【解析】连接,设,利用余弦定理得,由此解得再利用正弦定理解得
圆的半径为.
8.若对任意恒成立,则的取值范围是______________.
【答案】
二、解答题
9.已知四棱锥,
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,点为的中点.
(1)求证:;
(2)在平面上找一点,使得平面;
(3)求直线与平面所成角的正弦.
解:(1)取的中点,连接.
因为点为的中点,点为的中点,所以.
因为,所以,所以,
所以四边形是平行四边形,所以,所以.
(2)取的中点,连接,交于点.
设.
因为所以.又因为所以
所以所以平行四边形是矩形.
在等腰直角三角形中,点为的中点,
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所以,又,
所以,又,所以,
所以,又因为,所以,
所以,即.
因为,所以,所以,
所以.
(3)直线与平面所成角即与平面所成角,
连接,由,知
易求得,所以.
10.已知数列,
求证:(1);(2).
证明:(1)由,得.
易证,所以,即数列单调递增,
所以.
(2)利用不等式进行证明:
①当显然成立;
②当,,
,
……
,
,
将以上各式相乘得
.
综上得原不等式成立.
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