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2014年南开大学自主招生选拔考试文科数学试题
一、填空题
1.已知，则的值为__________.
【答案】
【解析】由得
所以，
所以.
2.已知点A（1,0），点B为圆上的任意一点，设AB的中垂线与OB的交点
为C，则点C的轨迹方程为__________.
【答案】
3.已知可行域若直线将可行域所表示的图形的面积平分，则的值为
__________.
【答案】
4.用24个点将一个圆24等分，任意选择其中的三点，则可以组成
_______个不同的直角三角形.
【答案】264
【解析】（个）.
5.已知函数的最小值是1，则的值为__________.
【答案】
【解析】
，
根据题意得，解得.
6.
【答案】
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【解析】由
，
令，得
，
令，得
，
以上两式相加得.
7.已知圆上A、B、C、D四点依次排列，AB=BC=3，CD=4，DA=8，则
该圆的半径为________.
【答案】
【解析】连接，设，利用余弦定理得，由此解得再利用正弦定理解得
圆的半径为.
8.若对任意恒成立，则的取值范围是______________.
【答案】
二、解答题
9.已知四棱锥，
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，点为的中点.
（1）求证：；
（2）在平面上找一点，使得平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦.
解：（1）取的中点，连接.
因为点为的中点，点为的中点，所以.
因为，所以，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，所以.
（2）取的中点，连接，交于点.
设.
因为所以.又因为所以
所以所以平行四边形是矩形.
在等腰直角三角形中，点为的中点，
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所以，又，
所以，又，所以，
所以，又因为，所以，
所以，即.
因为，所以，所以，
所以.
（3）直线与平面所成角即与平面所成角，
连接，由,知
易求得，所以.
10.已知数列，
求证：（1）；（2）.
证明：（1）由，得.
易证，所以，即数列单调递增，
所以.
（2）利用不等式进行证明:
①当显然成立；
②当，，
，
……
，
，
将以上各式相乘得
.
综上得原不等式成立.
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