用向量研究三角形的性质解析版.docx

课题：第六章平面向量

用向量研究三角形的性质

学习目标

三角形四心的概念;

三角形四心的向量表示形式。

问题与例题

知识回顾一：三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。

【探究一：三角形重心的性质】

从严谨的角度看，三角形的两条中线相交于一点是肯定的，但是第三条中线是否经过这个交点呢？你能用向量来证明一下吗？

如图，在?ABC

问题1：要证明AD过点O，应该用向量平行还是垂直？

【预设的答案】向量平行

问题2：你选一组基底来证明上面这一问题。

【预设的答案】取，为基底，因为B，O，E三点共线，

所以；因为C，O，F三点共线，所以，所以且，解得，所以，，所以。

思考1：通过上面的证明你得到了什么？说明点O是AD的几等分点？同理点O是BE，CF的几等分点？

【预设的答案】点O是AD的三等分点，同理点O是BE，CF的三等分点。

重心分每一条中线为1:2的两条线段。

思考2：你能根据“思考1”证明一下吗？

【预设的答案】根据问题2可知：，，，所以

思考3：如果将三角形放到坐标系中，点O的坐标为（x，y），点A，点B，点C的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x

【预设的答案】=（x1-x，y1-y）；=（x2-x，y2-y）；=（x3-x，y3-y）；点O的坐标为（x1

思考4：?ABC，?

【预设的答案】1：1：1

【例1】设G为的重心，若，，，则_______

【解析】解法1：不难发现，是以B为直角顶点的直角三角形，如图，

因为G为的重心，所以，故，又，所以，设D、E分别为、的中点，则，，由重心分中线的比例性质，，，从而.

解法2：如图，D、E、F分别为所在边的中点，作于K，则，所以，从而，故在上的投影为，所以.

【答案】4

【变式1-1】已知O、A、B、C是平面上的4个定点，A、B、C不共线，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定经过的（）

A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心

【解析】，当时，，P为的重心，所以点P的轨迹一定经过的重心.

【答案】A

【变式1-2】已知点是的重心，则（????）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】根据重心的性质和向量的线性运算求解.

【详解】延长与交于点，根据重心的性质，为中点，且，于是由，可得.

故选：C

知识回顾二：三角形ABC的面积公式S有几种表示形式？

【预设的答案】形式一：S=12a?;形式二：S=12abSinC=12

【探究二：奔驰定理】

若点O为?ABC内任意一点，有，求证。

问题1：假设，，，那么点O能否看做?ABC

【预设的答案】可以。

问题2：与以及的比值是多少？

【预设的答案】=1：mn;=1：mp;=1:np.

即：=p：mnp;=n：mnp;=m:mnp.

问题3：根据以上提示证明。

【预设的答案】根据探究一思考4：，所以，

所以

结论：若点O为?ABC内任意一点，

知识回顾三：三角形的三条垂直平分线（或中垂线）相交于一点O，这个交点叫做三角形的外心。

【探究三：三角形外心的性质】

问题1：根据垂直平分线的性质，||，||，||是什么关系？所以O点是三角形外接圆圆心吗？

【预设的答案】||=||=||，点O是三角形的外接圆圆心。

【例2】点O是?ABC的外心，求证：；

【答案】

同理可证：，

思考1：已知?ABC的外接圆半径为R，则是多少？

【答案】S?BOC=，S?AOC=，S?

又因为圆周角是圆心角的一半，所以，，所以S?BOC：S?AOC：S?

=|Sin2A|：|Sin2B|：|Sin2C|。

【变式2-1】点O是?ABC的外心，求证：

【答案】根据奔驰定理可知：S?BOC+S?AOC+S?

知识回顾四：三角形的三条角平分线相交于一点I，这个交点叫做三角形的内心。

【探究四：三角形内心的性质】

问题1：根据角平分线的性质，点I到各边距离相等吗？I点是三角形内切圆圆心吗？

【预设的答案】点I到各边的距离相等；I点是三角形的内切圆圆心。

问题2：已知?ABC的三边a,b,c

【预设的答案】假设三角形内切圆半径为r，因为S?ABC=S?BIC+S?AIC+S?AIB，S?ABC=12abSinC，S?

问题3：你能用和来表示向量吗？你能用和来表示向量吗？

你能用和来表示向量吗？

【预设的答案】；；。

问题4：已知?ABC的三边a,b,c分别为角A，B，C的对边，则是多少？

【预设的答案】假设三角形ABC的内切圆半径为r，S?BIC=12ar，S?AIC=12br，S

问题5：若点I为?ABC的内心，

证明:吗？

【答案】根据奔驰定理可知：S?BIC+S?AIC+S?AIB

再根据正弦定理可知：

【例3】已知O是平面上的一个定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（）