人教版高中总复习一轮数学精品课件 第6章 平面向量、复数 6.3 平面向量的数量积与平面向量的应用.ppt

;内容索引;第一环节必备知识落实;【知识筛查】;2.向量的数量积

已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.?

规定:零向量与任一向量的数量积为0.

温馨提示1.两向量的数量积,其结果是数量,而不是向量,它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积,其符号由夹角的余弦值来决定.

2.两个向量的数量积记作a·b,不能写成a×b的形式.;问题思考

两个非零向量a,b的夹角为锐角,是否一定有a·b0?反过来呢?;;4.向量数量积的性质

设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则

(1)a·e=e·a=|a|cosθ.?

(2)a⊥b?a·b=0.

(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;

当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=|a|2或

(4)|a·b|≤|a||b|.

5.向量数量积的运算律

(1)a·b=b·a(交换律).

(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).

(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).;温馨提示1.在向量数量积的运算中,不能从a·b=0推出a=0或b=0.实际上a·b=0有以下四种可能

①a=0,b=0;②a=0,b≠0;③a≠0,b=0;④a≠0,b≠0,但a⊥b.

2.对于向量a,b,有|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时,等号成立.这是因为|a·b|=|a||b||cosθ|,而|cosθ|≤1.

3.向量的数量积不满足消去律,已知a,b,c均为非零向量,且a·c=b·c,得不到a=b.

4.(a·b)·c≠a·(b·c),因为a·b,b·c是数量积,是实数,不是向量,所以(a·b)·c与向量c共线,a·(b·c)与向量a共线,因此,(a·b)·c=a·(b·c)在一般情况下不成立.;6.平面向量数量积的坐标表示

(1)两向量的数量积的坐标表示

已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.;;【知识巩固】;A.30° B.45°

C.60° D.120°;3.(2023新高考Ⅰ,3)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则()

A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1

C.λμ=1 D.λμ=-1;4.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.?;第二环节关键能力形成;;方法二(坐标法):

建立平面直角坐标系,如图所示.;解题心得1.求两个向量的数量积的方法:

(1)当已知向量的模和夹角时,利用定义求解,即a·b=|a||b|cosθ(其中θ是向量a与b的夹角).

(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即建立平面直角坐标系,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.

2.解决涉及几何图形的??量数量积运算问题时,可利用向量的加减运算或数量积的运算律化简.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.;D;(3)已知两个单位向量e1,e2的夹角为,若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则b1·b2=.?;;(2)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.?;解题心得1.求向量的模的方法:

(1)公式法,利用及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;

(2)几何法,先利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.

2.求向量模的最值(范围)的方法:

(1)求函数最值法,把所求向量的模表示成某个变量的函数再求;

(2)数形结合法,弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.;B;;A;D;;120°;命题角度2求参数的值或范围;解题心得1.求向量的夹角有两种方法;B;(2)已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=.?;命题角度1在平面几何中的应用

例6已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,设AC=m,BC=n.

(1)若D为斜边AB的中点,求证:

(2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于点F,求AF的长度(用m,n表示).;命题角度2在物理中的应用

例7在风速大小为的西风中,飞机以150km/h的航速大小向西北方向飞行