湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第2章一元二次函数、方程和不等式 第2节基本不等式.ppt

第2节基本不等式

课标解读1.掌握基本不等式(a,b0).2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用.

1强基础固本增分2研考点精准突破目录索引

1强基础固本增分

知识梳理(1)基本不等式成立的条件:.?(2)等号成立的条件:当且仅当时,等号成立.?(3)其中称为a,b的算术平均数,称为a,b的几何平均数.?也叫均值不等式两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数a0,b0a=b

微点拨可借助平面图形中线段长度的关系直观表示基本不等式:

2.几个重要的不等式(1)a2+b2≥(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.?(2)a+b≥(a0,b0),当且仅当a=b时,等号成立.(3)ab≤()2(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.当两个正数的积为定值时,用来求它们和的最小值当两个实数的和为定值时,用来求它们积的最大值2ab

3.利用基本不等式求最值已知x0,y0.(1)如果积xy等于定值P,那么当且仅当时,和x+y有最小值______(简记:积定和最小).?(2)如果和x+y等于定值S,那么当且仅当时,积xy有最大值_______(简记:和定积最大).?微点拨应用基本不等式求最值时,要注意:“一正,二定,三相等”,忽略某个条件,就有可能导致错误.x=yx=y

常用结论

自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)×××√

题组二回源教材5.(湘教版必修第一册2.1.2节第4题)已知0≤x≤1,求(1+x)·x2·(1-x)的最大值.6.(湘教版必修第一册2.1.2节例6改编)假设a,b,c为不全相等的三个正数,求

题组三连线高考7.(多选题)(2022·新高考Ⅱ,12)若实数x,y满足x2+y2-xy=1,则()A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1BC

8.(2021·天津,13)若a0,b0,则+b的最小值为.?

2研考点精准突破

考点一利用基本不等式求最值(多考向探究预测)考向1直接运用基本不等式求最值例1(1)(2024·上海宝山检测)若实数x,y满足x+2y=1,则2x+4y的最小值为.?

1

(3)已知x0,y0,且=4,则xy的最大值是.?4

考向2通过配凑利用基本不等式求最值例2(1)(2024·贵州贵阳模拟)若x0,则x+的最小值为.?3

(2)若正实数a,b满足2a+3b=1,则ab的最大值是.?

[对点训练1](1)(2024·陕西榆林模拟)若a1,则的最小值为.?7

(2)已知0x2,则的最大值为.?2

考向3通过常数代换利用基本不等式求最值例3已知x0,y0,且x+y=xy-3,求x+y的取值范围.

变式探究(变条件)本例中,若条件改为“x+y+xy=3”,求xy的取值范围.

考向4通过构建不等式利用基本不等式求最值例4(多选题)(2024·河南濮阳模拟)已知a,b为正实数,且ab+a+b=8,则下列说法正确的是()A.ab的最大值为4B.a+b的最小值为4C.2a+b的最小值为3ABD

变式探究(变条件)本例中,若将条件改为“ab+2a+b=8”,(1)如何求ab的最值?(2)如何求2a+b的最值?

考向5通过消元利用基本不等式求最值例5(2024·重庆南开中学检测)已知x0,y0,xy+2x-y=10,则x+y的最小值为()D

[对点训练2]已知正实数a,b,c满足a2-2ab+9b2-c=0,则的最大值为.?

考点二基本不等式与其他知识的综合应用例6(2024·山西太原联考)已知正项等比数列{an}满足a3-a1=2,则a4+a3的最小值是()A.4 B.9C.6 D.8D

[对点训练3]已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M,N在C上,若|MF2|+|NF2|=6,则|MF1||NF1|的最大值为()A.9 B.20C.25 D.30C解析根据椭圆定义可得|MF1|+|MF2|=8,|NF1|+|NF2|=8,因为|MF2|+|NF2|=6,所以8-|MF1|+8-|NF1|=6,即|MF1|+|NF1|=10≥2,当且仅当