模型21 瓜豆原理之直线型（解析版）-中考数学解题大招复习讲义.pdf

运动轨迹为直线

问题1：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运

动时，点轨迹是？

Q

解析：当点轨迹是直线时，点轨迹也是一条直线．

PQ

理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，

所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．

问题2：如图，点C为定点，点P、Q为动点，CPCQ，且∠PCQ为定值，当点P

在直线AB上运动，Q的运动轨迹是？

解析：当CP与CQ夹角固定，且APAQ时，P、Q轨迹是同一种图形，且PPQQ

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理由：易知△CPP≌△CPP，则∠CPPCQQ，故可知Q点轨迹为一条直线.

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模型总结

条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量．

结论：①主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；

②主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角

③当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运

动路径长；

例题精讲

【例1】如图，在平面直角坐标系中，（－，），点是轴正半轴上一动点，

.A30By

点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动

时，求OP的最小值．

解：求OP最小值需先作出P点轨迹，根据△ABP是等边三角形且B点在直线上运

动，故可知P点轨迹也是直线．

取两特殊时刻：（）当点与点重合时，作出点位置；（）当点在轴

1BOPP12Bx

上方且与轴夹角为时，作出点位置．连接，即为点轨迹．

ABx60°PPPPP

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根据∠ABP＝60°，可知：与y轴夹角为60°，作OP⊥，所得OP长度即

为最小值，＝＝，所以．

OP2OA3

变式训练

【变式1-1】．如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ＝90°，当点P在线段BC上运动

时，画出点Q的运动轨迹．

解：如图，直线QF即为所求．

【变式1-2】．如图，等边△ABC中，AB＝BC＝AC＝6，点M是BC边上的高AD所在直线

上的点，以BM为边作等边△BMN，连接DN，则DN的最小值为．

解：如图，连接CN，

∵△ABC和△BMN是等边三角形，

∴AB＝BC，BM＝BN，∠ABC＝∠MBN＝60°，

∴∠ABM＝∠CBN，

∵AD⊥BC，

∴∠BAD＝∠CAD＝30°，BD＝CD＝3，

在△ABM和△CBN中，

，

∴△ABM≌△CBN（SAS），

∴AM＝CN，∠BAD＝∠BCN＝30°，

∴点N在与BC成30度的射线CN上运动，

∴当DN⊥CN时，DN有最小值，

∵DN⊥CN，∠BCN＝30°，

∴DN＝CD＝，

故答案为：．

【变式1-3】．如图，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），动点P在线段AB上，

点P、C、M按逆时针顺序排列，且∠CPM＝90°，CP＝MP，当点P从点A运动到点B

时，则点M运