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第9章MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\hMACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\h图论模型MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\hMACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\hMACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\hMACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\hMACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\hMACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\h
图论是运筹学的一个经典和重要分支，专门研究图与网络模型的特点、性质以及求解方法。许多优化问题，可以利用图与网络的固有特性而形成的特定方法来解决，比用数学规划等其他模型来求解往往要简单且有效得多。
图论起源于1736年欧拉对柯尼斯堡七桥问题的抽象和论证。1936年，匈牙利数学家柯尼希（D.K?nig）出版的第一部图论专著《有限图与无限图理论》，树立了图论发展的第一座里程碑。近几十年来，计算机科学和技术的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，其理论和方法已经渗透到物理、化学、计算机科学、通信科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学各个学科中。
9.1图的基础理论
9.1.1图的基本概念
所谓图，概括地讲就是由一些点和这些点之间的连线组成的。定义为，是顶点的非空有限集合，称为顶点集。是边的集合，称为边集。边一般用表示，其中属于顶点集。
以下用表示图中顶点的个数，表示边的条数。
如REF_Ref523640792\h图9.1是几个图的示例，其中REF_Ref523640792\h图9.1(a)共有3个顶点、2条边，将其表示为 ，，.
图9.SEQ图9.\*ARABIC1图的示意图
1.无向图和有向图
如果图的边是没有方向的，则称此图为无向图（简称为图），无向图的边称为无向边（简称边）。如REF_Ref523640792\h图9.1(a)和(b)都是无向图。连接两顶点和的无向边记为或。
如果图的边是有方向（带箭头）的，则称此图为有向图，有向图的边称为弧（或有向边），如REF_Ref523640792\h图9.1(c)是一个有向图。连接两顶点和的弧记为，其中称为起点，称为终点。显然此时弧与弧是不同的两条有向边。有向图的弧的起点称为弧头，弧的终点称为弧尾。有向图一般记为，其中为顶点集，为弧集。
例如REF_Ref523640792\h图9.1(C)可以表示为，顶点集，弧集为。
对于图除非指明是有向图，一般地，所谓的图都是指无向图。有向图也可以用表示。
例9.SEQ例9.\*ARABIC1设，，其中
，，，，.
则是一个图，其图形如REF_Ref523662232\h图9.2所示。
图9.SEQ图9.\*ARABIC2非简单图示例
2.简单图和完全图
定义9.SEQ定义9.\*ARABIC1设是图的一条边，则称是的端点，并称与相邻，边与顶点（或）相关联。若两条边与有共同的端点，则称边与相邻；称有相同端点的两条边为重边；称两端点均相同的边为环；称不与任何边相关联的顶点为孤立点。
REF_Ref523662232\h图9.2中，边与为重边，为环，顶点为孤立点。
定义9.SEQ定义9.\*ARABIC2无环且无重边的图称为简单图。
REF_Ref523662232\h图9.2不是简单图，因为图中既含重边（与）又含环（）。
定义9.SEQ定义9.\*ARABIC3任意两点均相邻的简单图称为完全图。含个顶点的完全图记为。
3.赋权图
定义9.SEQ定义9.\*ARABIC4如果图的每条边都附有一个实数，则称图为赋权图，实数称为边的权。
赋权图也称为网络，如REF_Ref523640792\h
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