数学中熟悉的陌生人.docxVIP

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数学中熟悉的陌生“人”

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如果将解题者和数学题看作一对恋人的话，两者时常是熟悉的陌生人。尤其是数学题，解题者会经常感觉到既熟悉又陌生，而导致无从下手。本文的目的就是让学生对问题从陌生变成熟悉，而不再害怕看到这些题.

摘要：浙教版八年级上第一章《三角形的初步认识》和第二章《特殊三角形》中有些几何问题学生既陌生又熟悉，却经常无从下手.笔者以以下案例为主，通过不同的方法让学生对陌生的题目知道它的来源.将问题中的基本模型分离出来，层层递进的分析，让学生发出“哦，原来是这样”的感叹！再将问题逐步升华。从而提升学生数学的理解水平。

关键词：熟悉三角形全等勾股定理

一、通过层层铺垫的问题串将陌生便熟悉

案例一：如图1，是的两条高，是的中点，是的中点.试问有什么位置关系？并证明你的猜想.

问题分析：如图2，分别连接，因为点是的中点，则分别是斜边上的中线，利用直角三角形的性质定理“斜边上的中线等于斜边的一半”即可证明.笔者在课堂给学生展示出两条辅助线后，很多学生产生疑惑，为什么这么添？答案是看的懂的，但这两条辅助线是如何想到的。如果不解决这个问题，学生只是知道了这道题，而不是真正的会。

图1图2

笔者在教学中有意识的帮助学生熟悉常见的特征图形，使学生能在复杂的图形中迅速找到题目的特点。故此我做了如下的铺垫。

师问：如图3，在中，点是的中点，会想到添什么辅助线。

生答：连结。

师问：如图4，是的什么重要的线段？

生答：是的斜边上的中线。

师问：直角三角形斜边上的中线有什么结论。

生答：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

教师给出数量关系：。接着通过动态展示将两个带有斜边上的中线的直角三角形合在一起，构成“两个共直角边的直角三角形”问题，引出下列题目。

如图5，在中，，分别是的中点，且.求证：.

学生根据垂直，中点这些已知条件，再根据直角三角形斜边上中点的定理，便可得证。

图3图4图5

进一步的，教师继续抛出问题，引导学生探究。教师利用几何画板的动态展示将两个共直角边的直角三角形，重新组合成“两个共斜边的直角三角形”，如图6，请学生思考以下问题：

如图7，分别连结，线段具有怎样的数量关系？

如图8，连结，是什么三角形？

如图8，取的中点,和有怎样的位置关系？

问题（1）可由上面的共直角边的直角三角形问题，得到.

问题（2）由问题（1）便可得到是等腰三角形。

问题（3）由前面的结合，再利用“等腰三角形的三线合一”得到。

通过这一系列问题串的探究，对两个直角三角形不同的组合，加深了对基本几何模型的识别和理解。当学生完成以上探究活动后，再回到原问题时，学生不难发现将图8的延长交于一点，便得到图1的几何图形.于是辅助线的做法就顺其自然了.

图6图7图8

接下来，教师将问题进行升华，引导学生继续探究：

将上面共斜边的直角三角形的条件再特殊化，将其中一个直角三角形换成等腰直角三角形，那么又会有什么结论？

如图9，在中，，，，平分交，连结.你能得到什么结论.

将问题的条件进行适当变形，开放性的问题问学生，引导学生给出“（1）”“（2）”“（3）是等腰三角形”等结论，开拓学生的思维，从而提高学生的数学素养.

图9

将问题像洋葱一样层层拨开，将一道难题通过教师的引导回到最初的样子，又层层合上，让学生非常顺其自然的解决了问题，再将其升华，让这个数学问题更加饱满.以此达到学生将原本陌生的图形变成认识的模型，将无从下手的问题一点点的解决.让学生不再害怕问题.而是尝试发现问题，解决问题，增加解决实际问题的信心.

回顾与思考：问题求解既要关注问题背景给出的特殊图形的特征性质，也要关注问题背景中相应特殊图形在问题中的相对位置.在讨论问题的求解过程中，问题背景所给的图形的特征性质及其重要，如果不能很好的找到问题背景所给的图形的特征性质，问题求解所需要的条件和辅助线有可能找不到，于是在求解过程中会停滞不前.在此案例中，找到直角三角形，斜边上的中点，从而作斜边上的中线，再用直角三角形的性质定理解决问题.两条辅助线的添加是突破口.因为对两个直角三角形共直角边，再到共斜边的讨论，辅助线的形成就顺理成章了.

通过活用定理将问题从陌生变熟悉

案例二：如图10，在中，.由勾股定理可得三角形三条边之间的关系：.而又可以看成是以为边长的正方形的面积，因此勾股定理又可以表述为：分别以直角三角形两条直角边为边长的两个正方形的面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积.如图11，.

进一步的，教师继续抛出问题，引导学生探究。把较小的两个正方形纸片按图12的方式放置在最大的正方形内.若