高中数学：第1节　导数的概念及其意义、导数的运算.pptx

第三章;第1节导数的概念及其

意义、导数的运算;[课程标准要求];必备知识·课前回顾;1.导数的概念;(2)函数f(x)的导(函)数:当x=x0时,f′(x0)是一个唯一确定的数,这样,当x变化时,y=f′(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y′,即f′(x)=

y′=.

2.导数的几何意义

函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k0,即k0==f′(x0),相应的切线方程为.;函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负反映了变化的方向,|f′(x)|的大小反映了变化的快慢,

|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.;3.基本初等函数的导数公式;ex;4.导数的运算法则

设两个函数f(x),g(x)可导,则

(1)和(差)的导数:[f(x)±g(x)]′=.

(2)积的导数:[f(x)g(x)]′=.

特别地,当g(x)=c(c为常数)时,[cf(x)]′=cf′(x).

(3)商的导数:=(g(x)≠0).;5.复合函数的定义及其导数

(1)一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数,记作y=.

(2)复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.;;1.(2024·山东潍坊统考)设f(x)为R上的可导函数,且=

-2,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为()

A.2 B.-1

C.1 D.;2.(2024·山东烟台模拟)过点(0,3)且与曲线y=x3-2x+1相切的直线方程为()

A.x-y-3=0

B.x-y+3=0

C.x+y+3=0

D.x+y-3=0;3.(2024·河北邯郸模拟)已知直线y=x是曲线f(x)=lnx+a的切线,则a=()

A.-1 B.1

C.-2 D.2;4.(多选题)(人教A版选择性必修第二册P81练习T1改编)下列导数的运算正确的是()

A.(3x)′=3xln3

B.(x2lnx)′=2xlnx+x

D.(sinxcosx)′=cos2x;5.(2024·重庆统考模拟)已知曲线y=x2在点(2,4)处的切线与曲线f(x)=ex-x在点(x0,f(x0))处的切线互相垂直,则x0=.?;02;考点一导数的运算;解析:由f(x)=ex-f′(0)·x,得f′(x)=ex-f′(0),

将x=0代入,得f′(0)=e0-f′(0),f′(0)=,

所以f(x)=ex-x,因此f(2)=e2-1.故选C.;√;3.(多选题)设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f′(x),f′(x)在(a,b)上的导函数为f″(x),若在(a,b)上f″(x)0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”,以下四个函数在(0,)上是凸函数的是()

A.f(x)=sinx+cosx

B.f(x)=lnx-2x

C.f(x)=-x3+2x-1

D.f(x)=-xe-x;对于C,由f(x)=-x3+2x-1,得f′(x)=-3x2+2,则f″(x)=-6x,因为x∈(0,),所以f″(x)=-6x0,所以此函数是“凸函数”;

对于D,由f(x)=-xe-x,得f′(x)=-e-x+xe-x,则f″(x)=e-x+e-x-xe-x=

(2-x)e-x,因为x∈(0,),所以f″(x)=(2-x)e-x0,所以此函数不是“凸函数”.故选ABC.;导数运算的原则和方法

(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;遇到函数的商的形式时,如能化简则化简,这样可尽量避免使用商的求导法则,减少运算量.

(2)抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解.

(3)复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.;考点二导数的几何意义在函数图象中的应用;解析:(1)由f(x)的图象可知,函数f(x)单调递增,速度先由快到慢,再由慢到快,由导数的几何意义可知,f′(x)先